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Solución:
Si lo piensa, esto realmente no se reduce a QM y solo depende de cómo tome los promedios. QM solo entra en juego si realmente desea calcular esos promedios dado el vector de estado del sistema.
Lo sabemos $T=fracp^22m$por lo que el promedio de esto es entonces
$$langle Trangle=leftlanglefracp^22mrightrangle=fraclangle p^2rangle2m$$
Dado que, en general, $langle p^2rangleneqlangle prangle^2$aquí es donde terminamos.
Si desea encontrar este valor utilizando la base de posición, invocamos QM:
$$langle Trangle=-frachbar^22mintPsi^*fracparcial^2parcial x^2Psi dx$$
Esto se debe a que en la base de la posición, el $P^2$ el operador es $-hbar^2fracparcial^2parcial x^2$.
¿Por qué es esto?
Para ser concretos, veamos un ejemplo específico para el cual $langle T rangle ne fraclangle P rangle^22m$
Considere el caso de que tenemos una partícula con vector de estado (trabajando en 1D por simplicidad)
$$|psirangle = frac1sqrt2left(|+prangle + |-prangleright)$$
dónde $pne 0$ y $P,|pm prangle = pm p,|pm prangle$ (Estos son autos del operador de cantidad de movimiento).
Claramente, el expectativa el valor de la cantidad de movimiento es
$$langle Prangle = langlepsi|P|psirangle = frac12left(+p -pright) = 0$$
Esto se debe a que la medida del impulso tiene la misma probabilidad de producir $+p$ y $-p$.
Sin embargouna medida de medición de energía cinética puede solamente rendir
$$T = frac(pm p)^22m = fracp^22m$$
y entonces
$$langle T rangle = fracp^22m ne fraclangle P rangle^22m = 0$$