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Además de los métodos de cálculo, Pappus y Arquímedes ya mencionados, el Principio de Cavalieri puede ser útil para este tipo de problemas.
Suponga que tiene dos figuras sólidas alineadas una al lado de la otra, cada una encajando entre los mismos dos planos paralelos. (Por ejemplo, dos pilas de monedas de un centavo sobre la mesa, de la misma altura). Luego, considere cortar los dos sólidos por un plano paralelo a los dos dados y entre ellos. Si el área de la sección transversal así formada es la misma para cada uno de los sólidos para cualquiera de esos planos, los volúmenes de los sólidos son los mismos.
Si está dispuesto a aceptar que sabe que el volumen de un cono es 1/3 del volumen del cilindro con la misma base y altura, puede usar Cavalieri, comparando un hemisferio con un cilindro con un cono inscrito, para obtener el volumen de la esfera Este diagrama (de Wikipedia) ilustra la construcción: mira aquí
Considere un cilindro de radio $R$ y altura $R$, con, dentro de él, un cono invertido, con base de radio $R$ que coincide con la parte superior del cilindro, y nuevamente altura $R$. Pon a su lado un hemisferio de radio $R$. Ahora considere la sección transversal de cada uno a la altura $y$ por encima de la base. Para el sistema cilindro/cono, el área de la sección transversal es $pi (R^2-y^2)$. Es lo mismo para la sección transversal del hemisferio, como puedes ver haciendo el teorema de Pitágoras con cualquier vector desde el centro de la esfera hasta un punto de la esfera a la altura y para obtener el radio de la sección transversal (que es circular).
Dado que el cilindro/cono y el hemisferio tienen la misma altura, según el principio de Cavalieri, los volúmenes de los dos son iguales. El volumen del cilindro es $pi R^3$, el cono es un tercio de eso, entonces el volumen del hemisferio es $frac23 pi R^3$. Así la esfera de radio $R$ tiene volumen $frac43 pi R^3$.
El volumen de una esfera con radio $a$ se puede encontrar evaluando la integral triple
$displaystyle V = iiint_ Smathrm dx,mathrm dy,mathrm dz,$
donde $S$ es el volumen encerrado por la esfera $x^2+y^2+z^2=a^2$. Cambiando variables a coordenadas polares esféricas, obtenemos
$displaystyle V = int_0^2pimathrm dphiint_0^ pimathrm dthetaint_0^ ar^2 sintheta mathrm dr = int_0^2pimathrm dphiint_0^pisintheta mathrm dthetaint_0^ ar^2mathrm dr = frac4pi a^33,$
como se esperaba.
Una respuesta completa utilizando el método del disco sería la siguiente.
Si giras $ y = sqrt r^2 – x^2 $ alrededor del eje x (y formas un sólido), obtienes el volumen de una esfera.
Forma un disco con altura $f(x)$ y encuentra su área.
El área del disco rojo de arriba es $ pi r^2 $, o $ pi f^2(x) $, o podríamos decir $ pi sqrt r^2 – x^2 ^2 = pi (r^2 – x^2) $ en cualquier punto x entre x=-r y x=+r.
Para hallar el volumen de una esfera de radio r luego, simplemente sume las áreas de discos infinitesimalmente delgados a medida que x va de -r a +r.
Para resolverlo:
$ int_-r^r pi sqrt r^2 – x^2 ^2 dx $
$ = 2 pi int_0^r r^2 – x^2 dx $
$ = 2 pi ( r^2x – frac13x^3 )|_0^r $
$ = 2 pi ( r^3 – frac13r^3 ) $
$ = frac4pi3r^3 $