Fernando, miembro de este staff, nos ha hecho el favor de redactar esta crónica porque controla perfectamente el tema.
Solución:
$$-int_0^infty fracsinleft(frac715xright)x^3:dx + int_0^ infty fracsinleft(frac1315xright)x^3:dx + int_0^infty fracsinleft (frac1715xright)x^3:dx – int_0^infty fracsinleft(frac2315x right)x^3:dx = frac2pi15$$
No puedes expandir las integrales ya que no son convergentes.
Además, dado que $int_a^bf(x)+g(x)dx$ converge,
$int_a^bf(x)+g(x)dx=int_a^bf(x)dx+int_a^bg(x)dx$ sólo si $int_a^bf(x)dx$ y $int_a^bg(x)dx$ converger.
beginmultilínea int_0^infty fracsin(x)x^3dx = int_0^1 fracsin(x)x^3dx +int_1^ infinito fracsin(x)x^3dx \> int_0^1 fracx/2x^3dx +int_1^infty fracsin(x) x^3dx = frac12int_0^1 frac1x^2dx +int_1^infty fracsin(x)x^3 dx = infty endmultilínea
La integral diverge.
Como han señalado las otras respuestas, la integral de hecho diverge. Pero si desea asignarle un valor finito, hay un par de formas de ver que, de hecho, $-pi/4$ es el valor “correcto”.
Una es llevar la integral no del todo a cero, sino a $épsilon$. Si lo hacemos, entonces expandir en una serie en $épsilon$obtenemos
$$int_epsilon^inftyfracsin xx^3,dx=epsilon^-1-fracpi4+O(epsilon).$ ps
El término principal es el divergente. $épsilon^-1$pero si ignoramos eso, entonces el siguiente término es $-pi/4$.
Otra forma de obtener el mismo valor es extender primero la integral a $-infty$. Como el integrando es par, esperaríamos
$$int_0^inftyfracsin xx^3,dx=frac12int_-infty^inftyfracsin xx^3,dx .$$
Por supuesto, la integral de la derecha también diverge. Pero el único punto problemático es cuando $x=0$. si imaginamos $x$ como estar en el plano complejo, viajando desde $-infty$ a $infty$entonces podemos simplemente “dar la vuelta” $0$ al curvar $x$ ligeramente fuera del plano complejo, por ejemplo:
Si lo hacemos, entonces terminamos con la misma respuesta de $-pi/4$. No estoy seguro de cómo se llama este tipo de regularización, pero se usa con frecuencia en la teoría cuántica de campos donde abundan las integrales divergentes.
Valoraciones y reseñas
Si eres capaz, puedes dejar un ensayo acerca de qué le añadirías a este enunciado.