Esta noticia fue analizado por nuestros especialistas así aseguramos la exactitud de nuestra esta reseña.
Solución:
Ha notado la diferencia entre $prod^infty R$ (el espacio vectorial de todas las secuencias de elementos en $R$) y $bigoplus^infty R$ (el espacio vectorial de secuencias que son solo un número finito a menudo distintas de cero) . El último tiene una base de cardinalidad $aleph_0$ (la base que anotaste en tu pregunta), el primero tiene una base de cardinalidad $2^aleph_0$, y se debe invocar algún principio de elección para probar la existencia de este base (e incluso existen modelos de teoría de conjuntos donde este espacio probablemente no tiene base). En particular, sí, no puede obtener una base para $prod^infty R$ agregando un número finito de elementos básicos a la base estándar para $bigoplus^infty R$, ya que tiene una cardinalidad estrictamente mayor.
¿Cómo podemos describir una base de Hamel para $prod^infty R$? No podemos, no con construcciones teóricas de conjuntos estándar. Dado que es consistente con la teoría de conjuntos ZF que no existe tal base, ninguna construcción ZF (como tuplas, powerset, set builder) le permitirá escribir esta base.
Entonces, ¿cómo podemos probar que tal base existe, usando el axioma de elección o el lema de Zorn? Bueno, los conjuntos linealmente independientes están ordenados por inclusión. Cada cadena de tales conjuntos tiene un máximo (tome la unión). Por lo tanto, según el lema de Zorn, existe un conjunto máximo linealmente independiente, también conocido como base. O vea esta respuesta de Michael Hardy.
Tome todas las secuencias distintas de cero e impóngales un buen orden (lo cual es posible asumiendo el Axioma de Elección). Si desea tener la base parcial que identificó como parte de la base final, haga arreglos para que la buena ordenación comience con esa base parcial.
Ahora tome el conjunto de esos vectores que no se pueden escribir como una combinación lineal de vectores que lo preceden en ese buen orden. Esos vectores formarán una base del espacio vectorial.
La independencia lineal de ese conjunto es bastante obvia a partir de la construcción, y que abarca el espacio vectorial completo se ve por el hecho de que cualquier vector distinto de cero que no sea una combinación lineal de los vectores en ese conjunto no sería en particular un vector lineal. combinación de los que le preceden en el orden total; pero luego, por construcción, debería estar en ese conjunto.
Nos puedes proteger nuestra labor dejando un comentario o valorándolo te lo agradecemos.