Te damos el hallazgo a esta duda, al menos eso deseamos. Si sigues con inquietudes dínoslo, que sin dudas
Solución:
En primer lugar, un espacio vectorial debe estar sobre un campo (en la práctica, a menudo son los números reales $ Bbb R $ o los números complejos $ Bbb C $, aunque también se permiten los números racionales $ Bbb Q $, como muchos otros), por definición. Así, por ejemplo, el conjunto de pares de enteros con la adición de componentes estándar no es un espacio vectorial, aunque tiene una suma y una multiplicación escalar (por enteros) que cumple con todas las propiedades que le pedimos a un espacio vectorial.
Un espacio vectorial debe contener $ vec 0 $. Por lo tanto, cualquier subconjunto de un espacio vectorial que no lo haga, como $ Bbb R ^ 2 setminus vec 0 subseteq Bbb R ^ 2 $ con las operaciones vectoriales estándar no es un espacio vectorial. De manera similar, un espacio vectorial debe permitir cualquier multiplicación escalar, incluidas las escalas negativas, por lo que el primer cuadrante del plano (incluso incluidos los ejes de coordenadas y el origen) no es un espacio vectorial.
Un ejemplo más sutil es el círculo (con un cero elegido) donde la suma se realiza sumando distancias a lo largo del círculo desde el cero elegido (de manera equivalente agregando ángulos), y la multiplicación escalar se realiza multiplicando distancias (ángulos). Aquí nos metemos en problemas con la multiplicación escalar nuevamente, porque el vector cero representa simultáneamente $ 360 ^ circ $, entonces, ¿cuál debería ser $ 0.5 $ multiplicado por ese vector? $ 0 ^ circ $? $ 180 ^ circ $? Sería ambos al mismo tiempo, lo cual no es bueno.
¡Los espacios vectoriales no son solo un conjunto! Son un concepto abstracto, que involucra un conjunto $ V $, un campo $ mathbb F $ y operaciones begin align * + &: V times V rightarrow V \ cdot &: mathbb F times V rightarrow V, end align * suma y multiplicación escalar respectivamente, satisfaciendo un montón de axiomas. Aquí hay mucho más en juego que el propio conjunto $ V $. Los conjuntos que se pueden convertir en espacios vectoriales con el campo correcto y las operaciones son extremadamente comunes, pero es mucho más raro ser un espacio vectorial si el conjunto ya viene con el campo y las operaciones.
Por ejemplo, el conjunto de números positivos $ (0, infty) $ no parece un espacio vectorial, pero con el campo escalar $ mathbb R $ y con las operaciones (no estándar),
begin align * oplus &: (0, infty) times (0, infty) rightarrow (0, infty): (x, y) mapsto xy \ odot &: mathbb R times (0, infty) rightarrow (0, infty), ( lambda, x) mapsto x ^ lambda end align *
forma un espacio vectorial. Incluso los números naturales podrían definirse como un espacio vectorial sobre un campo finito, o un campo contable como $ mathbb Q $ (aunque las operaciones se verían un poco extravagantes).
Entonces, para responder a su pregunta, ¿puedo crear un conjunto que definitivamente no sea un espacio vectorial? Si. Resulta que todos los campos finitos tienen una cardinalidad que toma la forma $ q = p ^ m $, donde $ p $ es primo y $ m in mathbb N $. Como tal, los espacios vectoriales finitos sobre un campo tan finito, que debe tener alguna dimensión finita $ n ge 0 $, deben tener cardinalidad $ q ^ n $. Por lo tanto, un conjunto con un número de elementos no igual a una potencia prima $ p ^ mn $ no debe ser un espacio vectorial finito bajo ninguna operación. Por ejemplo, un conjunto con elementos de $ 6 $ definitivamente no es un espacio vectorial.
I. el conjunto de puntos $ (x, y, z) in mathbb R ^ 3 $ que satisface $ x + y + z = 1 $ no es un espacio vectorial, porque $ (0,0,0) $ isn ‘ t en él. Sin embargo, si cambia la condición a $ x + y + z = 0 $, entonces es un espacio vectorial.
II. El conjunto de todas las funciones desde $ mathbb R $ a $ mathbb R $ es un espacio vectorial, pero el subconjunto que consta de aquellas funciones que solo toman valores positivos no lo es.
Si te sientes a gusto, eres capaz de dejar un tutorial acerca de qué le añadirías a este tutorial.