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Solución:
Se sabe que la afirmación de que todo espacio vectorial tiene una base es equivalente al axioma de elección, que es independiente de los demás axiomas de la teoría de conjuntos. Generalmente se entiende que esto significa que, en cierto sentido, es imposible escribir una base “explícita” de un espacio vectorial arbitrario de dimensión infinita. Por otra parte,
- Algunos espacios vectoriales de dimensión infinita tienen bases fácilmente descriptibles; por ejemplo, a menudo nos interesa el subespacio generado por una secuencia contable $v_1, v_2, …$ de vectores linealmente independientes en algún espacio vectorial $V$, y este subespacio tiene una base $ v_1, v_2, .. .$ por diseño.
- Para muchos espacios vectoriales de interés de dimensión infinita, no nos importa describir una base de todos modos; a menudo vienen con una topología y, por lo tanto, podemos sacar mucho provecho del estudio de subespacios densos, algunos de los cuales, nuevamente, tienen bases fácilmente descriptibles. En los espacios de Hilbert, por ejemplo, nos preocupamos más por las bases ortonormales (que no son bases de Hamel en el caso de dimensión infinita); estos abarcan subespacios densos de una manera particularmente agradable.
El “caso difícil” es esencialmente equivalente a este:
Encuentra una base para los números reales $mathbbR$ sobre el campo de los números racionales $mathbbQ$.
Los reales son obviamente un campo de extensión de los racionales, por lo que forman un espacio vectorial sobre $mathbbQ$. Debería quedar claro que tal base tiene que ser incontable (porque si fuera contable, los reales también serían contables).
También debe quedar claro que dicha base es un subconjunto de $1 cup mathbbR setminus mathbbQ$. El problema es que el conjunto potencia de los reales es “tan grande” que ni siquiera está claro cómo nombrar los conjuntos que necesitamos para aplicar el axioma de elección A. Sin embargo, los subconjuntos linealmente independientes SÍ satisfacen los requisitos del lema de Zorn, una forma del axioma de elección.
Una prueba relativamente fácil de seguir de la existencia de una base para cualquier espacio vectorial usando el lema de Zorn se puede encontrar aquí: http://planetmath.org/encyclopedia/EveryVectorSpaceHasABasis.html