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Bueno, si $M$ tiene una base métrica $b_1, ldots, b_n+1$ entonces el mapa $$x mapsto (d(x,b_1), ldots, d(x, b_n+1))$$ es una inyección continua de $M$ a $mathbbR^n+1$. Entonces, por ejemplo, ningún espacio de Banach de dimensión infinita $E$ podría tener esta propiedad para cualquier $n in mathbbN$: siendo $K$ la bola unitaria cerrada de un subespacio de $n+2$ dimensión de $ E$, nos restringimos a una inyección continua de $K$ en $mathbbR^n+1$, que dado que $K$ es compacto debe ser un homeomorfismo, y creo que los topólogos saben que un $n+ La bola de 2$ dimensiones no puede ser homeomorfa a un subconjunto de $mathbbR^n+1$.
Considere $(mathbfZtimes[0,1])/(mathbfZtimes )$, infinitos radios unidos en un solo punto. Dada una base finita, los únicos puntos caracterizados únicamente por las distancias a ella son los puntos en los mismos radios que la base. Así que este espacio es de dimensión infinita.
Tener una dimensión métrica infinita no es bi-Lipschitz-invariante. En la línea real, considere las dos métricas $$ d(x,y)=min(|xy|,1)quadtexty\ delta(x,y)=arctan(|xy| ). $$ Las dos métricas ofrecen la topología habitual, son bi-Lipschitz entre sí, pero $dim(mathbb R,d)=infty$ (como lo observó Benoît Kloeckner) y $dim(mathbb R ,delta)=1$ (las $delta$-distancias desde dos puntos cualesquiera determinan únicamente el punto).
Por lo general, se podría argumentar que si dos espacios métricos son bi-Lipschitz, son esencialmente iguales. Sin embargo, esto no garantiza que las dimensiones métricas coincidan. No sé qué caracterizaría la dimensión métrica infinita, pero tiene que ser “más fina que las propiedades de Lipschitz” de la métrica. Como indica la nueva respuesta de Benoît Kloeckner, no ayuda si nos restringimos a métricas de longitud.
En una nota final tangencial, considere la métrica $d_epsilon(x,y)=min(|xy|,epsilon)$ en $S^1$ para cualquier $epsilon>0$. Aquí el valor absoluto puede ser la métrica heredada de $mathbb R^2$ o $mathbb R/2pimathbb Z$, en realidad no importa. Todos estos son bi-Lipschitz entre sí, pero la dimensión de $d_epsilon$ es aproximadamente $2pi/epsilon$. Puede ajustar la dimensión métrica de $S^1$ para que sea cualquier número entero positivo con cambios bi-Lipschitz.