La guía paso a paso o código que verás en este artículo es la resolución más fácil y válida que hallamos a tus dudas o problema.
Solución:
El resultado que podemos mostrar es el siguiente:
Sean $E$ y $F$ dos espacios vectoriales topológicos, y $Tdos puntos Eto F$ un mapa lineal. Si $E$ es de dimensión finita, entonces $T$ es continuo.
Primero, si $(e_1,ldots,e_n)$ es una base de $E$, entonces cualquier conjunto de $n+1$ vectores de $T(E)$ es linealmente dependiente, entonces $T(E)$ tiene una dimensión $leqslant n$. Sea $k$ la dimensión de $T(E)$, y $(v_1,ldots,v_k)$ la base de este espacio. Podemos escribir para cualquier $xin E$: $T(x)=sum_i=1^ka_i(x)v_i$ y como $v_i$ es una base cada $a_i$ es lineal. Tenemos que demostrar que cada función $T_icolon Eto F$, $T_i(x)=:a_i(x)v_i$ es continua.
Adicional: el mapa $xmapsto a_i(x)$ está bien definido porque $(v_1,ldots,v_k)$ es una base. En particular, toma valores finitos.
Por definición de una topología en un espacio vectorial topológico solo tenemos que mostrar que el mapa $xmapsto a_i(x)$ es continuo. Para hacer eso, usamos el hecho de que un espacio vectorial topológico de dimensión finita puede estar equipado con una norma que da la misma topología (de hecho es la única), a saber, poner $$Nleft(sum_j=1 ^nalpha_jx_jright):=sum_j=1^n|alpha_j|.$$ Ahora la continuidad es fácil de comprobar: denota $x=sum_j=1^nx_je_j$ y $y =sum_j=1^ny_je_j$ $$|a_i(x)-a_i(y)|leqslant sum_j=1^n|a_i((x_j-y_j)e_j)|=sum_ j=1^n|x_j-y_j|cdot |a_i(e_j)|leqslant N(xy)sum_j=1^n|a_i(e_j),$$ desde $|x_j-y_j| leqslant N(xy)$ para todo $1leqslant jleqslant n$.
Hay una buena reseña de una prueba de una versión más simple de esto (para espacios vectoriales normados) en Wikipedia. Permítanme reproducir la prueba dada en Wikipedia:
Si $T:Xto Y$ es un mapa lineal donde $X,Y$ son normado espacios vectoriales y $X$ tiene dimensión finita, entonces $T$ es continuo.
Prueba: Sea $e_1,dots, e_n$ una base de $X$. Entonces para $x in X$ tenemos
$$ |Tx|_Y = |T sum_i alpha_i e_i|_Y = |sum_i alpha_i Te_i |_Y le sum_i |alpha_i||Te_i|_Y$$
Sea $varepsilon >0$ y sea $M = max_i |Te_i|_Y$. Sea $delta = varepsilon over M$. Entonces por $x$ con $|x| < delta$ tenemos
$$ |Tx|_Y le sum_i |alpha_i||Te_i|_Y le M sum_i |alpha_i| < varepsilon$$
por tanto, $T$ es continua.