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Solución:
Considere el espacio vectorial $mathbbR^3$. Dentro de $mathbbR^3$ podemos elegir dos planos, $P_1$ y $P_2$. El plano $P_1$ pasa por el origen pero el plano $P_2$ no. Es un ejercicio de tarea estándar en álgebra lineal para mostrar que el $P_1$ es un sub-espacio vectorial de $mathbbR^3$ pero el plano $P_2$ es no. Sin embargo, el plano $P_2$ se parece a un espacio vectorial de $2$ dimensiones en muchos aspectos, principalmente porque exhibe una estructura lineal. De hecho, $P_2$ es un ejemplo clásico de un espacio afín.
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Un defecto del avión $P_2$ es que no tiene un origen distinguido. Uno puede elegir artificialmente un punto y redefinir las operaciones algebraicas de tal manera que le dé un origen, pero eso no es inherente a $P_2$. Otro problema es que la suma de dos vectores en $P_2$ ya no está en $P_2$. Se puede pensar en $AR^2$ como modelo de esta situación.
Considere una hoja infinita (de papel idealizado, si lo desea). Si está en blanco, entonces no hay absolutamente ninguna forma de distinguir entre dos puntos en la hoja. No obstante, si tiene dos puntos en la hoja, puede medir la distancia entre ellos. Y si hay un campo magnético uniforme paralelo a la hoja, incluso puede medir el rumbo de un punto a otro. Por lo tanto, dado cualquier punto $P$ en la hoja, puede describir de manera única cualquier otro punto en la hoja por su distancia y rumbo desde $P$; ya la inversa, dada cualquier distancia y rumbo, hay un punto con esa distancia y rumbo desde $P$. Este es la situación de la que la noción de un espacio afín bidimensional es una abstracción.
Supongamos ahora que hemos marcado un punto $O$ en la hoja. Luego podemos “agregar” los puntos $P$ y $Q$ en la hoja dibujando el diagrama de paralelogramo habitual. El resultado $P + Q$ de la “suma” depende de la elección de $O$ (y, por supuesto, $P$ y $Q$), pero nada más. Este es de lo que la noción de un espacio vectorial bidimensional es una abstracción.
La forma más fácil para mí de diferenciar las dos estructuras son sus axiomas.
Un espacio vectorial es un objeto algebraico con sus operaciones características, y un espacio afín es una acción de grupo sobre un conjunto, específicamente un espacio vectorial que actúa sobre un conjunto fiel y transitivamente.
¿Por qué decimos que el origen ya no es especial en el espacio afín? El problema es que tanto $V$ como $X$ generalmente se escriben como $Bbb R^n$, aunque estamos pensando en cada una de las dos copias de esto de diferentes maneras. El asunto es que el conjunto $X=Bbb R^n$ realmente no distingue ninguno de sus elementos… son todos iguales. Pero en el espacio vectorial $Bbb R^n$, puede detectar el origen de inmediato, indicado en los axiomas.
¿Por qué decimos que los puntos afines se pueden restar pero no sumar? Eso hace que parezca que, de hecho, hay operaciones dentro del espacio afín al igual que en el espacio vectorial, lo que desdibuja la imagen.
La razón es precisamente por la transitividad: si $V$ actúa sobre $X$ de manera que $X$ es un espacio afín (escrito de forma aditiva), entonces para cualquier $x,yen X$, existe un $v$ tal que $v + x = y$. He escrito la acción de grupo de forma aditiva aquí, pero es sugerente reescribir esto como $yx = v$ y confundir el elemento $v$ del espacio vectorial con un elemento de $X$.
Si tienes alguna suspicacia o disposición de aumentar nuestro tutorial eres capaz de ejecutar un exégesis y con deseo lo observaremos.