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Solución:
El reclamo no es true.
Considere $X=(0,1)$ con la medida borel. y considere las funciones $$ g_n(x) = chi_(0,1/n). $$ Note que $g_n(x)to 0$ ae en $Omega$.
Entonces, para todo $fin L^p$, se puede demostrar que tenemos $$ | f g_n |_L^p^p = int_(0,1/n) |f(x)|^p mathrm dx to 0, $$ entonces $f g_n$ converge para todo $ fin L^P$ a $0$ en la norma $L^p$.
Sin embargo, $g_n$ no converge a $0$ en la norma $L^infty$, porque $ |g_n|_L^infty = 1 $ y usando la convergencia puntual, solo $g=0$ sería posible como límite.
Alternativamente, es fácil ver que $ |g_n – g_m|_L^infty = 1 $ for $nneq m$, y por lo tanto $g_n_ninmathbb N $ no es una secuencia de Cauchy en $L^infty$ y, por lo tanto, no es convergente.
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