Solución:
Lo que haría es multiplicar por el primer término más el conjugado de los dos últimos términos. He coloreado las partes importantes de la siguiente expresión para que sea más fácil de entender. $$ frac {2 sqrt {6}} { color {verde} { sqrt {2} + sqrt {3} +} color {rojo} { sqrt {5}}} cdot frac { color {verde} { sqrt {2} + sqrt {3} -} color {rojo} { sqrt {5}}} { color {verde} { sqrt {2} + sqrt {3} -} color {rojo} { sqrt {5}}} $$ $$ frac {2 sqrt {6} ( sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5})} {( sqrt {2} + sqrt {3} + sqrt {5}) ( sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5})} $$ ¿Por qué hago esto, preguntas? Recuerda la fórmula de la diferencia de cuadrados: $$ a ^ 2-b ^ 2 = (a + b) (ab) $$ De hecho, estoy dejando $ a = color {green} { sqrt {2} + sqrt {3 }} $ y $ b = color {rojo} { sqrt {5}} $. Por lo tanto, nuestra fracción se puede reescribir como: $$ frac {2 sqrt {6} sqrt {2} +2 sqrt {6} sqrt {3} -2 sqrt {6} sqrt {5}} {( color {verde} { sqrt {2} + sqrt {3}}) ^ 2 – ( color {rojo} { sqrt {5}}) ^ 2} $$ $$ = frac {4 sqrt {3} +6 sqrt {2} -2 sqrt {30}} {2 + 2 sqrt {6} + 3-5} $$ Oh. Que agradable. ¡Los números enteros en el denominador se cancelan! $$ frac {4 sqrt {3} +6 sqrt {2} -2 sqrt {30}} {2 sqrt {6}} $$ Multiplicar por $ dfrac {2 sqrt {6}} { 2 sqrt {6}} $ $$ frac {4 sqrt {3} +6 sqrt {2} -2 sqrt {30}} {2 sqrt {6}} cdot frac {2 sqrt {6}} {2 sqrt {6}} $$ $$ = frac {8 sqrt {3} sqrt {6} +12 sqrt {2} sqrt {6} -4 sqrt {30} sqrt {6}} {(2 sqrt {6}) ^ 2} $$ $$ = frac { color {rojo} {24} sqrt {2} + color {rojo} {24} sqrt {3} – color {rojo} {24} sqrt {5}} { color {rojo} {24}} $$ $$ = frac { color {rojo} {24} ( sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5})} { color {red} {24}} $$ Cancela $ 24 $ en el numerador y denominador y obtienes: $$ sqrt {2} + sqrt { 3} – sqrt {5} $$ $$ displaystyle color {verde} { boxed { por lo tanto dfrac {2 sqrt {6}} { sqrt {2} + sqrt {3} + sqrt {5}} = sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5}}} $$
En realidad hay un mucho camino más corto. Regresemos a la fracción $$ frac {2 sqrt {6} sqrt {2} +2 sqrt {6} sqrt {3} -2 sqrt {6} sqrt {5}} {( sqrt {2} + sqrt {3}) ^ 2 – ( sqrt {5}) ^ 2} $$ $$ = frac {2 sqrt {6} sqrt {2} +2 sqrt {6} sqrt {3} -2 sqrt {6} sqrt {5}} {2 + 2 sqrt {2} sqrt {3} + 3-5} $$ $$ = frac { color {rojo} {2 sqrt {6}} sqrt {2} + color {rojo} {2 sqrt {6}} sqrt {3} – color {rojo} {2 sqrt {6}} sqrt {5 }} { color {red} {2 sqrt {6}}} $$ ¿Ves que podemos factorizar $ 2 sqrt {6} $ en el numerador? $$ frac { color {rojo} {2 sqrt {6}} ( sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5})} { color {rojo} {2 sqrt {6 }}} $$ Cancela $ 2 sqrt {6} $ en el numerador y el denominador fuera, y obtienes: $$ sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5} $$ $$ displaystyle color {verde} { boxed { por lo tanto dfrac {2 sqrt {6}} { sqrt {2} + sqrt3 + sqrt5} = sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5 }}} $$
¡Espero haber ayudado!
Su “cálculo largo” fue obviamente incorrecto, ya que el denominador debería ser
$$ ( sqrt 2 + sqrt 3 + sqrt 5) ( sqrt 2 – ( sqrt 3 + sqrt 5)) = \ = sqrt2 ^ 2 – ( sqrt 3 + sqrt 5) ^ 2 = 2 – (3 + 5 + 2 sqrt {15}) = -6-2 sqrt {15} $$
$$ frac {2 sqrt {6}} { sqrt {2} + sqrt {3} + sqrt {5}} = frac {2 sqrt {6}} { sqrt {2} + sqrt {3} + sqrt {5}} cdot frac { sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5}} { sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt { 5}} $$
$$ = frac {2 sqrt {6} cdot ( sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5})} {( sqrt {2} + sqrt {3}) ^ 2 -5} = frac {2 sqrt {6} cdot ( sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5})} {5 + 2 sqrt {6} -5} $$
$$ = frac {2 sqrt {6} cdot ( sqrt {2} + sqrt {3} – sqrt {5})} {2 sqrt {6}} $$
Cancelando esos $ 2 sqrt {6} $ terminaría con el resultado requerido …
¿Puedes verlo al menos ahora?