Estate atento ya que en este enunciado vas a encontrar el hallazgo que buscas.Este enunciado fue aprobado por nuestros especialistas para garantizar la calidad y veracidad de nuestro post.
Solución:
Tenga en cuenta que, en primer lugar, en una transformación galileana, de $S$ a $S’$, una partícula de momento constante tendrá una energía diferente en $S’$ que en $S$ porque la energía cinética es proporcional a la velocidad al cuadrado . Sabemos que las funciones de onda oscilan como $$ e^-idfrac Ehbar t $$ por lo que tenemos que tener esto en cuenta cuando miramos en nuestro marco diferente.
Apliquemos estos resultados. Lo que encontraremos que explica este cambio en el impulso le da el término que lo confunde, y el cambio en la energía le da el término que sospecha que sería la respuesta.
Considere una partícula en $S$ con cantidad de movimiento $vec p$ y masa $m$. Su función de onda $psi$ es entonces
$$ psi = e^ileft(dfracvec p cdot vec xhbar – dfracp^22mhbartright) $$
En $S’$, con velocidad $vec v_0$, su cantidad de movimiento va a $vec p’ = vec p – m vec v_0$, y también su energía cambia. $E’ = frac(p’)^22m$, entonces encontramos que
$$ E’ = E – vec p cdot vec v_0 + frac 12 m v_0^2 $$
Dado que la función de onda debe tener una forma similar a la de $S’$,
$$ psi’ = e^ileft(dfracvec p’ cdot vec xhbar – dfracE’hbartright) $$
Conectando estos nuevos valores de energías y momento produce esta forma,
$$ psi’ = e^ileft(dfracvec p cdot vec xhbar – dfracmvec v_0cdot vec xhbar-dfrac Ethbar+ dfracvec p cdot vec v_0hbarright) e^-idfrac m v_0^2t2hbar $$
descartamos el último término porque es invariante con respecto al impulso. Es solo una fase global global (si hay un solo tipo de masa). Reorganizar nos lleva a encontrar que,
$$ psi’ = e^idfracvec p cdot vec v_0 thbare^-i dfracmvec v_0cdot vec xhbar psi $$
¿Cuál es exactamente la transformación que afirmas que es la transformación galileana? Reemplazando $vec p$ con un operador da,
$$ psi’ = hat G psi $$
donde $hat G = e^idfracvec p cdot vec v_0 thbare^-i dfracmvec v_0cdot vec xhbar $ Dado que los estados de impulso son una base completa, esto es válido para cualquier superposición de estados de impulso. Entonces, en general, es true, y hemos derivado $hat G$. Es porque la energía y el momento cambian en diferentes marcos.
Es sencillo verificar que OP’s eq. (2) de hecho genera transformaciones de Galileo. Más bien parece que OP está preguntando
¿Cómo derivar la fórmula (2) a partir de los primeros principios?
Derivación esbozada de la fórmula (2):
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Consideremos primero la teoría clásica. El lagrangiano hamiltoniano para una partícula libre no relativista es $$L_H~=~sum_k=1^3p_kdotx^kH, qquad H~:=~ frac12m sum_k=1^3p_k p_k.tagA$$
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Muestre que una transformación galileana infinitesimal $$delta x^k~=~t ~delta v^k, qquad delta p^k~=~m ~delta v^k, qquad delta t~=~ 0,tagB$$ es una cuasi-simetría $$ delta L_H ~=~fracddtsum_k=1^3m x_k~delta v^k tagC $$ para el hamiltoniano lagrangiano (A). [Concerning quasi-symmetry, the reader may also enjoy reading this related Phys.SE post.]
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Use el teorema de Noether para encontrar la carga total de Noether correspondiente $$ Q_k~=~ tp_k – m x_k.tagD$$
[The first term $tp_k$ is the bare Noether charge, while the second term $m x_k$ comes from the rhs. of eq. (C).] -
Como comprobación, observe que la carga de Noether (D) genera la transformación galileana infinitesimal (B), $$ delta ~=~sum_k=1^3 ~cdot~ , Q_k ~delta v^k ,tagE$$ como debería, cf. mi respuesta Phys.SE aquí.
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Usa el principio de correspondencia entre la física clásica y la cuántica para deducir que $$ delta ~=~ sum_k=1^3frac1ihbar[~cdot~ , hatQ_k] ~delta v^k, tagF$$ donde $$ hatQ_k~=~ thatp_k – m hatx_k.tagG$$ es el operador de carga Noether.
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Use argumentos estándar para integrar la transformación galileana infinitesimal (F) en una transformación galileana finita para lograr la fórmula buscada de OP (2). $Caja$
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