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Solución:
Es necesario estudiar la mecánica newtoniana para comprender verdaderamente la mecánica lagrangiana, ya que su base subyacente es la mecánica newtoniana. Esencialmente es una formulación diferente de lo mismo. En cierto modo, cuando haces mecánica lagrangiana, sigues haciendo mecánica newtoniana solo en el camino de la energía. Por ejemplo, bajo la mecánica lagrangiana, digamos que tenemos una partícula con algo de energía cinética, $ T = frac 1 2 m dot q ^ 2 $, que está en un campo gravitacional, $ V = mgq $. Nuestro lagrangiano se define como $ L = TV $, por lo que usando la ecuación de Euler-Lagrange, $ frac d dt frac partial L partial dot q – frac parcial L parcial q = 0 $, obtendríamos $ m ddot q + mg = 0 $, que puede ver que es solo la suma habitual de fuerzas de Newton que nos dice en este caso que la aceleración, $ ddot q $, aquí solo se debe a la aceleración gravitacional, $ g $.
Si bien esto puede parecer una forma complicada de llegar a lo mismo, puede usar un ejemplo diferente para resolver un sistema mucho más complicado como un péndulo doble [pdf link] por ambos métodos para impulsar el punto de por qué la mecánica de Lagrange es el método de elección.
Puede ver que la mecánica de Lagrange proporciona una forma mucho más elegante y directa de resolver estos complicados sistemas, especialmente si comienza a agregar mecanismos de amortiguación o conducción.
Uno de los aspectos atractivos de la mecánica lagrangiana es que puede resolver sistemas de manera mucho más fácil y rápida de lo que sería haciendo el camino de la mecánica newtoniana. En la mecánica newtoniana, por ejemplo, se deben tener en cuenta explícitamente las restricciones. Sin embargo, las restricciones se pueden eludir en la mecánica de Lagrange. También puede modificar las ecuaciones de Lagrange con bastante facilidad si desea tener en cuenta algo como las fuerzas impulsoras o de disipación.
No, yo lo haría muy Recomiendo estudiar la mecánica newtoniana antes que la mecánica lagrangiana. Si bien, sí, es ‘posible’ aprender sobre la mecánica lagrangiana antes que la newtoniana, un lote de intuición se perdería comenzando con uno en lugar del otro, lo que a la larga no hará más que dañarlo o, en el mejor de los casos, posiblemente confundirlo. Pero, de hecho, hay muchas ventajas en este formalismo.
Aunque la respuesta de ERK da algunas buenas razones (es decir simplicidad de soluciones y demás), creo que la solución pasa por alto una parte crucial de la Mecánica Lagrangiana (que solo publicaré para completar): nos permite trabajar en coordenadas generalizadas y son completamente invariantes a ellas.
Mientras que la formulación newtoniana requiere una reescritura explícita de sus leyes para tratar con sistemas de coordenadas arbitrarios, la formulación lagrangiana (que es, si recuerdo correctamente, un poco más débil que la formulación newtoniana original) a su vez, nos permite tratar con sistemas de coordenadas arbitrarios. en espacios que se adapten a nuestro problema.
Un ejemplo simple proviene de reescribir cada formulación en coordenadas polares (2D). Considere reescribir la definición de fuerza en dos dimensiones (asumiendo $ m = 1 $): $$ ( ddot r – r dot theta ^ 2) hat e_r + (r ddot theta +2 dot r dot theta) hat e_ theta = a = – nabla U = frac hat e_ theta r partial_ theta U + hat e_r partial_r U $$
donde la mayoría de los términos de la LHS surgen de la diferenciación de los vectores base (a medida que cambian en cada punto). Por otro lado, las expresiones lagrangianas conservan su forma habitual: $$ begin align partial_r L & = frac d dt partial_ dot r L \ partial_ theta L & = frac d dt parcial_ dot theta L end align $$
y todo lo que tenemos que hacer es reescribir las formas de la energía cinética / potencial en coordenadas polares (que a menudo tiene si está utilizando este método para explotar las simetrías en el problema). Esto, en particular, significa que las restricciones se pueden hacer cumplir eligiendo sistemas de coordenadas apropiados que se adapten al problema dado en lugar de escribir explícitamente las restricciones y resolverlas (como a menudo tendríamos que hacer en las ecuaciones de Newton).
Además, hay muchas sutilezas que se pueden probar directamente del Lagrangiano y su acción correspondiente (que es la razón subyacente de estas invariancias particulares), más notablemente el Teorema de Noether que establece que cada simetría de Lie de la acción corresponde a una ley de conservación; por ejemplo, si el lagrangiano de un sistema en particular es invariante bajo traslaciones infinitesimales en el tiempo, el sistema la energía total se conserva.
Es true que este tipo de teoremas pueden (teóricamente) probarse directamente a partir de las leyes de Newton (ya que son, en algún sentido extraño, una consecuencia de ellas), pero las simetrías de las leyes no son evidentes hasta que se reformulan en esta formulación.
Preguntas posiblemente relacionadas: ¿Cuál es la diferencia entre la mecánica newtoniana y lagrangiana en pocas palabras ?, ¿qué son exactamente la mecánica hamiltoniana (y la mecánica lagrangiana)?
Deberías estudiar la mecánica newtoniana antes que la mecánica lagrangiana porque la mecánica newtoniana es mas general que la mecánica de Lagrange. En otras palabras, mientras que siempre que un sistema permite una formulación lagrangiana también permite una formulación newtoniana, lo contrario es no true; el caso por excelencia es la dinámica en presencia de fuerzas disipativas. La dinámica lagrangiana permite tratar una clase muy restringida de fuerzas disipativas, es decir los que dependen de la velocidad solamente, vea, por ejemplo, esta discusión en línea. Pero el caso más general (piense, por ejemplo, en una moneda que cae en una atmósfera estratificada, girando sobre su eje pero con su eje de simetría no paralelo a su velocidad instantánea) está completamente fuera del alcance de la dinámica lagrangiana.
Si cree que este ejemplo es artificial o inverosímil, piense en el ala de un avión que se mueve dentro de una capa de aire turbulento y en la importancia del cálculo de los coeficientes de sustentación y resistencia.
Al mismo tiempo, puede preguntarse por qué perseveramos en el estudio de la mecánica lagrangiana, si su campo está obviamente restringido a fuerzas que pueden derivarse de un potencial. Hay muchas razones:
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Todas las fuerzas fundamentales de la naturaleza pueden derivarse de una especie de potencial; si bien estamos interesados en mantener nuestros aviones a flote, también es true que el electromagnetismo, la gravedad, las interacciones débiles y fuertes pueden derivarse de un Lagrangiano;
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Los lagrangianos hacen que la derivación de las ecuaciones de movimiento en coordenadas generalizadas sea inmediata, en lugar de proyectar cosas sobre el eje y perderse en los detalles de la geometría;
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Los lagrangianos facilitan la discusión de los principios de invariancia, al exponer la conexión entre las simetrías del lagrangiano con la existencia de cantidades conservadas (teorema de Noether), y al hacer trivial la discusión de las simetrías en el lagrangiano. Considere, como ejemplo, la derivación de la cantidad conservada para el movimiento de una partícula puntual en el campo generado por una hélice infinita: a partir de la simetría del Lagrangiano es fácil mostrar cuál es la cantidad conservada (es una de las primeros ejercicios en Landau y Lifshitz; vol 1 Mecánica), mientras intenta hacer lo mismo en la mecánica newtoniana. Observe que no he especificado qué tipo de campo genera la hélice, porque la cantidad conservada es siempre lo mismo, independientemente de la naturaleza del campo (siempre que pueda derivarse de un potencial).
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Un lagrangiano está asociado con el concepto de mínimo y, mientras que la naturaleza de este mínimo per se no es extremadamente importante, conduce a esquemas de aproximación numérica (los llamados métodos de relajación) que a veces son nuestros solamente, y muy a menudo nuestro mejor enfoque a un problema concreto.
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Si me permiten una incursión fuera de la Mecánica Clásica, un tratamiento lagrangiano de un problema permite una analogía poderosa con los operadores no desplazados de QM, y la introducción de conmutadores y anti-conmutadores, que fue un key paso en el desarrollo de QM.
Si conservas alguna desconfianza o forma de afinar nuestro división puedes escribir una nota y con placer lo leeremos.