este problema se puede abordar de diversas formas, pero en este caso te damos la solución más completa en nuestra opinión.
Solución:
Primero, el término “espacios base” no es estándar en la física cuántica, pero supongamos que entendemos lo que significan aproximadamente las oraciones.
En segundo lugar, la cantidad de movimiento es continua (no cuantificada) si el espacio de posiciones no es compacto (infinito). El impulso solo se cuantifica si el espacio de posición es compacto (o periódico) y, de hecho, se ha verificado experimentalmente que el impulso se cuantifica, por ejemplo, en el pozo de potencial.
En tercer lugar, el mismo espacio de Hilbert (más precisamente, el espacio de Hilbert amañado, etc.) puede tener bases contables e incontables (etiquetadas con números continuos). No hay contradicción porque en este nivel de precisión, la cardinalidad de la base no tiene un impacto en el “tamaño” del espacio de Hilbert siempre que sea de dimensión infinita. Ver por ejemplo
http://motls.blogspot.com/2014/02/cardinality-of-bases-doesnt-matter-for.html?m=1
Entonces, por ejemplo, una partícula en la línea se describe mediante el espacio de Hilbert de funciones de valores complejos $psi(x)$ que pueden construirse a partir de las “bases” continuas de estados propios de posición; o como superposiciones de los estados propios de energía del oscilador armónico (esta base es contable). Desde el punto de vista de un matemático al que le gusta pensar en la cardinalidad de los conjuntos, las bases pueden ser “diferentemente grandes”. Pero desde el punto de vista de la física, son igualmente grandes.
Es completamente común y normal en mecánica cuántica que algunos operadores tengan espectros continuos, otros operadores tengan espectros discretos y otros operadores tengan mixed (discretos más continuos) espectros. Todavía pueden tener bases de estados propios, que son exactamente suficientes para escribir cada vector como una superposición lineal. Para las bases discretas, la superposición lineal se escribe como una suma; para las bases continuas, la combinación lineal se escribe como una integral (y debe estar respaldada por algún sistema axiomático extendido de “espacios de Hilbert amañados”, etc. para permanecer riguroso); por mixed bases, la superposición es la suma de la suma y una integral.
Operadores continuos, discretos y mixed los espectros deben considerarse “igualmente buenos operadores” desde el punto de vista de la física. De hecho, el hamiltoniano, el operador de energía que también gobierna la evolución del tiempo, puede tener variaciones discretas, continuas o mixed espectros y la respuesta a menudo requiere cálculos dinámicos complicados: de ninguna manera se determina “a priori” si el hamiltoniano debe tener una parte discreta del espectro. Su espectro tiene una parte discreta (el espectro es discreto o mixed) si el hamiltoniano admite “estados ligados” y por lo general no se puede adivinar “inmediatamente” si tales estados ligados existen.