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Solución:
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Nos referimos a la segunda opción. Para el mismo valor propio $a_i$hay varios independiente linealmente vectores propios $psi_ij$ dónde $j$ denota la degeneración. Cuando mide algo, si hay varios estados linealmente independientes que dan el mismo valor de medición, esos estados son degenerados.
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También tenga en cuenta que el mismo estado propio no puede tener múltiples valores propios. Es único para un estado dado. Suponer que $A psi_i = a_i psi_i$ y $A psi_i = a_i’ psi_i$. Después $a_i psi_i − a_i’ psi_i = 0 $lo que implica que al menos uno de $a_i – a_i’$ o $psi_i$ es igual a cero. Los vectores propios son distintos de cero por definición, por lo que debe ser el caso de que $a_i=a_i’$.
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Los operadores son transformaciones lineales que actúan sobre el espacio de Hilbert. Las transformaciones generalmente involucran estiramientos, apretones y rotaciones. Los vectores que aún permanecen en su tramo después de las transformaciones son los vectores propios de esa operación. En otras palabras, los autovectores permanecerán en la misma dirección incluso después de aplicar el operador, aunque se pueden contraer o estirar. El valor por el cual se estiran (un número > $|1|$) o apretar (un número $|1|$) es su valor propio. Ahora debería quedar claro por qué no podemos tener múltiples valores propios para un vector.
Queremos decir (2): por lo mismo valor propio$a_i$ hay más de uno función propia$psi_i$. En este caso, se necesita un índice adicional para distinguir diferentes funciones propias correspondientes al mismo valor propio:
$$sombreroApsi_nnu = a_npsi_nnu.$$
Desde un punto de vista más matemático, decimos que hay degeneración cuando el espacio propio correspondiente a un valor propio dado es mayor que unidimensional. Supongamos que tenemos la ecuación de valor propio
$$ hat Apsi_n = a_npsi_n;. $$
Aquí $a_n$ es el valor propio, y $psi_n$ es la función propia correspondiente a este valor propio. Pero esta función propia, por supuesto, no está definida de manera única: cualquier múltiplo de $psi_n$ también satisface la ecuación de valor propio, $sombrero A(lambdapsi_n) = lambda sombrero Apsi_n = lambda a_npsi_n = a_n(lambdapsi_n)$ por linealidad. Así hablamos de espacio propio perteneciente al valor propio dado $a_n$. Este espacio propio puede ser unidimensional, es decir, cada estado propio debe ser proporcional a $psi_n$. En este caso no hay degeneración. Pero es posible que este espacio propio tenga una dimensión superior a 1. Por ejemplo, este espacio propio puede ser bidimensional, lo que significa que hay dos funciones linealmente independientesdecir $psi_n1$ y $psi_n2$que son funciones propias de $que A$ con valor propio $a_n$:
$$ hat Apsi_n1 = a_n psi_n1;,quadhat Apsi_n2 = a_n psi_n2;. $$
Entonces toda combinación lineal de la forma $alfapsi_n1 + betapsi_n2$ es también un estado propio de $que A$ con valor propio $a_n$. Es decir, el espacio propio correspondiente al valor propio $a_n$ tiene dimensión 2. En este caso decimos que hay (doble) degeneración.
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