Posteriormente a buscar en diversos repositorios y sitios webs al concluir hemos descubierto la resolución que te compartiremos a continuación.
Los operadores autoadjuntos ingresan QM, descrito en complejo Los espacios de Hilbert, a través de dos vías lógicamente distintas. Esto conduce a un par de significados correspondientes del conmutador.
La primera forma es común con las otras dos posibles formulaciones espaciales de Hilbert (real y cuaterniónica): Los operadores autoadjuntos describen observables.
Dos observables pueden ser compatible o incompatible, en el sentido de que pueden o no pueden medirse simultáneamente (las mediciones correspondientes se molestan entre sí cuando se observan los resultados). Hasta algunos tecnicismos matemáticos, el conmutador es un medida de incompatibilidad, en vista de las generalizaciones del principio de Heisenberg que menciona en su pregunta. En términos generales, cuanto más diferente es el conmutador de $ 0 $, más incompatibles son los observables entre sí. (Piense en desigualdades como $ Delta A_ psi Delta B_ psi geq frac 1 2 | langle psi | [A,B] psi rangle | $. Evita la existencia de un vector propio común $ psi $ de $ A $ y $ B $ (los observables se definen simultáneamente) ya que dicho vector propio verificaría $ Delta A_ psi = Delta B_ psi = 0 $.)
La otra forma en que los operadores autoadjuntos ingresan al formalismo de QM (aquí las versiones real y cuaterniónica difieren del caso complejo) se refiere a la descripción matemática de las simetrías continuas. De hecho, parecen ser generadores de grupos unitarios representando transformaciones físicas (fuertemente continuas) del sistema físico. Esta transformación continua está representada por un grupo unitario de un parámetro $ mathbb R ni a mapsto U_a $. Un célebre teorema de Stone establece que $ U_a = e ^ iaA $ para un operador autoadjunto único $ A $ y todos los reales $ a $. Este enfoque para describir transformaciones continuas conduce a la versión cuántica del teorema de Noether solo en vista del hecho (¡distinto!) De que $ A $ además es un observable.
La acción de un grupo de simetría $ U_a $ sobre un $ B $ observable se hace explícita mediante la conocida fórmula de la imagen de Heisenberg:
$$ B_a: = U ^ dagger_a B U_a $$
Por ejemplo, si $ U_a $ describe rotaciones del ángulo $ a $ alrededor del eje $ z $, $ B_a $ es el análogo del observable $ B $ medido con instrumentos físicos rotados de $ a $ alrededor de $ z $.
El conmutador aquí es un evaluación de primer orden de la acción de la transformación sobre los $ B $ observables, ya que (nuevamente hasta sutilezas matemáticas, especialmente en lo que respecta a los dominios):
$$ B_a = B -ia [A,B] + O (a ^ 2) :. $$
Por lo general, la información englobada en las relaciones de conmutación es muy profunda. Al tratar con Grupos de mentiras de simetrías, permite reconstruir toda la representación (hay una maravillosa teoría de Nelson sobre este tema fundamental) bajo algunas hipótesis matemáticas bastante suaves. Por lo tanto, los conmutadores juegan un papel crucial en el análisis de simetrías.
Me gustaría ampliar un poco la interpretación de conmutadores como una medida de disturbio (relacionado con la incompatibilidad, como se mencionó en las otras respuestas). Mi interpretación del conmutador es que $[A,B]$ cuantifica la medida en que la acción de $ B $ cambia el valor de la variable dinámica $ A $ y viceversa.
Supongamos que $ A $ es un operador autoadjunto con un espectro discreto no degenerado de valores propios $ a $ con mercados propios asociados $ lvert a rangle $. Entonces puede demostrar que, para cualquier operador $ B $, existe la siguiente descomposición $$ B = sum _ Delta B ( Delta), $$ tal que $$[A,B(Delta)] = Delta B ( Delta), $$ donde $ B ( Delta) $ se define a continuación. Ver el conmutador $[A,.]$ como operador lineal, tiene la forma de una ecuación de valor propio. Los valores propios $ Delta $ vienen dados por las diferencias entre pares de valores propios de $ A $, por ejemplo, $ Delta = a’-a $. La forma específica de los operadores propios $ B ( Delta) $ es $$ B ( Delta) = sum_ a langle a + Delta rvert B lvert a rangle ; lvert a + Delta rangle langle a rvert. $$ Esto demuestra que los $ B ( Delta) $ son “operadores de escalera” que actúan para aumentar el valor de la variable $ A $ en una cantidad $ Delta $. El conmutador induce así una descomposición natural de $ B $ en contribuciones que cambio el valor de $ A $ por una cantidad determinada. Un ejemplo simple es la conocida relación de conmutación entre los operadores spin $ -1 / 2 $: $$[sigma^z,sigma^x] = mathrm i 2 sigma ^ y = +2 sigma ^ + – 2 sigma ^ -. $$ Esto te dice que $ sigma ^ x $ tiene dos partes, que aumentan o disminuyen la proyección de giro en el eje $ z $ por dos “unidades”, que en este caso significa $ pm 2 times frac hbar 2 = pm hbar $.
En general, el conmutador completo es $$ [A,B] = sum _ Delta Delta B ( Delta). $$ Los $ B ( Delta) $ son linealmente independientes $ ^ ast $, por lo tanto, el conmutador desaparece solo si $ B ( Delta) = 0 $ para todo $ Delta neq 0 $, es decir, si $ B $ no cambia el valor de $ A $. Si $[A,B] neq 0 $, se puede obtener una medida de cuánto $ B $ cambia $ A $ calculando la norma de Hilbert-Schmidt (al cuadrado) del conmutador: $$ mathrm Tr left [A,B]^ daga[A,B] right = sum_ a, a ‘ (a-a’) ^ 2 lvert langle a rvert B lvert a ‘ rangle rvert ^ 2. $$ Esta es la suma de los elementos de la matriz (al cuadrado) de $ B $ que vinculan diferentes estados propios de $ A $, ponderados por el cambio correspondiente en los valores propios (al cuadrado). Entonces, esto cuantifica claramente el cambio en $ A $ que se produce al aplicar $ B $.
Ahora la parte no tan obvia: ¿qué significa físicamente “cambiar $ A $ aplicando $ B $”? Como señala Valter, la evolución y transformaciones en QM se llevan a cabo formalmente aplicando operadores unitarios generado mediante observables, no aplicando los propios observables. Esto se relaciona con la descomposición anterior de la siguiente manera. Suponga que tomamos $ A $ como el Hamiltoniano $ H $. Entonces es sencillo demostrar que la evolución de $ B $ en la imagen de Heisenberg viene dada por $$ B (t) = e ^ i H t B e ^ – i H t = sum _ Delta e ^ i Delta t B ( Delta), $$ donde aquí $ Delta $ son las frecuencias de Bohr del sistema en consideración. Los operadores de salto $ B ( Delta) $ pueden interpretarse como los componentes de Fourier de la función valorada por el operador $ B (t) $. En el contexto de la teoría de la perturbación, a menudo aproximamos el efecto de la evolución unitaria mediante la aplicación de un operador hermitiano (el hamiltoniano perturbador), en cuyo caso la interpretación de los operadores de salto es clara: describen las transiciones entre estados propios de energía causadas por el perturbación $ B $. La dependencia del tiempo de oscilación conduce finalmente a la conservación de energía como condición de adaptación de frecuencia.
Ésta no es una respuesta completa a la pregunta bastante optimista de “qué significan físicamente los conmutadores”. Sin embargo, podría proporcionar algo de reflexión para el estudiante curioso.
$ ^ ast $ Esto se sigue ya que $ B ( Delta) $ son ortogonales con respecto al producto interno de Hilbert-Schmidt: $$ mathrm Tr left B ( Delta) ^ dagger B ( Delta ‘) right = delta _ Delta, Delta’ sum_a lvert langle a rvert B lvert a + Delta rangle rvert ^ 2, $$ donde el delta de Kronecker símbolo $ delta _ Delta, Delta ‘ $ es igual a 1 si $ Delta = Delta’ $, y 0 en caso contrario.
A nivel básico:
1) si $[A,B]= 0 $, y si $ A $ y $ B $ son generadores infinitesimales de una simetría (también cantidades conservadas), esto significa que ambos $ A $ son invariantes en $ B $ y $ B $ son invariantes en $ A $ .
Por ejemplo, $[H,J_z]= 0 $, significa que el momento angular se conserva durante la evolución temporal y que el hamiltoniano es invariante por rotación.
Como dice @Valter Moretti, un nonull conmutador $[A,B]$ mide la desviación de (ambas) simetrías.
2) Conmutadores de tipo $[A, B] = pm B $, si $ A $ está asociado a un espectro discreto, significa que $ B $ es un operador de subida / bajada, con un “$ A $ -carga” $ pm 1 $.
Un ejemplo obvio es $[J_z, J_pm]= pm J_ pm $
3) Relaciones de conmutación de tipo $[hat A, hat B]= i lambda $, si $ hat A $ y $ hat B $ son observables, correspondientes a las cantidades clásicas $ a $ y $ b $, podría interpretarse considerando las cantidades $ I = int a , db $ o $ J = int b , da $. Estas cantidades clásicas no se pueden traducir en observables cuánticos, porque la incertidumbre de estas cantidades siempre está alrededor de $ lambda $.
Por ejemplo, $[hat x,hat p] = i hbar $ muestra que no hay un observable cuántico correspondiente a la acción $ S = int ( vec p , d vec x – E , dt) $.