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Solución:
En realidad, en la electrostática, la densidad de energía del campo E no es un observable físico. Como usted dice, solo cuando se muevan los cargos se realizará algún trabajo. Dado que las dos formas de calcular la energía total terminan igual, no se puede distinguir si la energía se almacena en las cargas o en el campo. Incluso el propio campo E es más una entidad matemática abstracta, sin la cual todo se puede calcular en términos de la ley de Coulomb.
La realidad física de los campos E y B (y la densidad de energía asociada) se hace evidente solo enstatic casos. Por ejemplo, en la radiación electromagnética, los campos pueden propagarse en el espacio libre sin estar asociados con cargas y corrientes, y la radiación puede funcionar sin cargas (por ejemplo, presión ligera). Porque de las ecuaciones de Maxwell podemos derivar una fórmula general de densidad de energía
$$ rho = frac epsilon_0 2 | vec E | ^ 2 + frac 1 2 mu_0 | vec B | ^ 2 $$
lo que coincide con el caso electrostático, deducimos que incluso en la electrostática la energía se almacena efectivamente en los campos.
Cuando se tiene una distribución de cargas $ q_1, dots, q_n $ en los puntos $ vec r _1, dots, vec r _n $, la energía del sistema está dada por la suma de la energía de cada partícula debido a su interacción con las otras dividida por dos, ya que cada interacción se cuenta dos veces, es decir, $$ U = sum_ i = 1 ^ n sum _ subck j = 1 \ j neq i ^ n frac 1 4 pi epsilon_0 frac q_iq_j = frac 1 2 sum_ i = 1 ^ nq_i phi_i ( vec r _i) $$ donde $ phi_i ( vec r _i) $ es el potencial en $ vec r _i $ debido a todos los cargos excepto $ q_i $. Si pasamos a una distribución de carga continua con densidad de carga $ rho ( vec r) $, la suma se reemplaza por una integración sobre “partes infinitesimales de carga” $ dq = rho ( vec r) textrm d V $. Entonces la energía del sistema es $$ U = frac 1 2 int limits_V rho ( vec r) phi ( vec r) textrm d V $$ Ahora , debido a la ley de Gauss para la electricidad, $ vec nabla cdot vec E = frac rho epsilon_0 $ tenemos $$ U = frac 1 2 int limits_V epsilon_0 left ( vec nabla cdot vec E ( vec r) right) phi ( vec r) textrm d V $$ Recordando el vector identidad $ vec nabla cdot left (f vec F right) = f ( vec nabla cdot vec F) + vec F cdot ( vec nabla f) $ tenemos $$ U = frac 1 2 epsilon_0 left[intlimits_V vecnablacdotleft(vecE(vecr)phi(vecr)right)textrmdV-intlimits_V vecE(vecr)cdotvecnablaphi(vecr)textrmdVright]$$ Reemplazando la primera integral sobre el volumen $ V $ por una sobre su límite $ parcial V $ mediante el teorema de divergencia que establece $ int_V vec nabla cdot vec F textrm d V = oint _ parcial V vec F cdot textrm d vec S $ y recordando la definición de potencial $ – vec nabla phi = vec E $ obtenemos $$ U = frac 1 2 epsilon_0 left[ointlimits_partial V vecE(vecr)phi(vecr)textrmdvecS+intlimits_V vecE(vecr)cdotvecE(vecr)textrmdVright]$$ Ahora podemos elegir el volumen de integración $ V $ para que sea todo el espacio. Entonces $ parcial V $ estaría infinitamente lejos de todas las cargas y, por convención, el potencial $ phi $ se extinguiría, haciendo que la primera integral desapareciera. Entonces nos quedaríamos con la siguiente expresión para la energía del sistema $$ U = frac 1 2 epsilon_0 int limits_V | vec E ( vec r) | ^ 2 textrm d V $$ De esta expresión se deduce que la densidad de energía $ Upsilon $ en $ vec r $ está dada por $$ Upsilon ( vec r) = frac 1 2 epsilon_0 | vec E ( vec r) | ^ 2 $$ Ahora podemos preguntar “dónde” está esta energía. Tenga en cuenta que lo derivamos como la densidad de energía de la energía total de las cargas en nuestro universo. No obstante, esta densidad de energía parece estar distribuida incluso donde puede que no haya cargas. Entonces hacemos la pregunta, ¿la energía pertenece a la configuración de carga o al campo eléctrico? Desde el punto de vista de la electrostática, ambos son equivalentes y, en nuestra última ecuación, nos inclinamos a pensar en el campo eléctrico como portador de energía. En el electromagnetismo, esto es una necesidad, ya que el campo eléctrico puede existir y propagarse de manera bastante independiente de sus cargas de origen en forma de ondas electromagnéticas, por ejemplo luz, que evidentemente transporta energía, ya que la mayor parte de la energía en el planeta tierra proviene del sol en esta forma. Cualquier otra pregunta, ¡pregunte! ¡Intentaré dar una respuesta si conozco una!
Sí, $ epsilon vec E cdot vec E $ es la parte electrostática de la densidad de energía transportada por el campo. La densidad de energía del campo electromagnético también incluye el término magnético: $$ rho_ E, B = frac epsilon 2 | vec E | ^ 2 + frac 1 2 mu | vec B | ^ 2 $$ y esta fórmula es válida incluso para campos electromagnéticos variables arbitrarios dependientes del tiempo. Cuando mencionaste la densidad de energía $$ frac 12 int rho _ rm charge Phi , , dV, $$, debes tener en cuenta que debes tener cuidado de evitar la doble contabilización. Cuando asumimos que la energía es transportada por el campo electromagnético, ya no deberíamos agregar el término $ rho_Q cdot Phi $ por separado porque podríamos estar contando dos veces. Sin embargo, en algunos aspectos, deben separarse y deben agregarse ambos.
En cualquier caso, $ epsilon | E | ^ 2 $ es un término en la fórmula para la energía total, de todos modos. Es importante saberlo porque solo se conserva la energía total, con todos los términos que deberían estar allí.
Se puede interpretar la energía $ int dV , , epsilon | E | ^ 2/2 $ como trabajo, de la misma manera que para la energía de interacción de las cargas que mencionas. Es el trabajo necesario para cambiar el campo electrostático de la situación $ vec E = 0 $ a la configuración dada de $ vec E $. La energía se puede dar como una integral del trabajo, $$ E _ rm energy = int dV int dt , vec E cdot frac d vec D dt, qquad vec D equiv epsilon vec E $$ Tenga en cuenta que no hay $ 1/2 $ en la fórmula anterior; viene de la integración. Entonces, cuanto más grande sea el campo en un punto dado, más difícil será aumentar su valor allí.
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