Solución:
$ lvert A rangle langle B rvert $ es el tensor de un sujetador y un sujetador (bueno, claro). Esto significa que es un elemento del producto tensorial de un espacio de Hilbert $ H_1 $ (ahí es donde viven los kets) y de un dual de un espacio de Hilbert $ H_2 ^ ast $, que es donde viven los sujetadores. Aunque para los espacios de Hilbert sus duales son isomórficos al espacio original, esta distinción debe tenerse en cuenta. Entonces podemos “alimentar” un cet $ lvert psi rangle $ desde $ H_2 $ al sostén en $ lvert phi rangle otimes langle chi rvert in H_1 otimes H_2 ^ ast $, y quedan con un estado en $ H_1 $ dado por $ langle chi vert psi rangle lvert phi rangle $. El caso de uso habitual de un producto tensorial de este tipo es cuando $ H_1 = H_2 $ para construir un mapa desde $ H_1 $ a sí mismo, por ejemplo, el proyector en un estado $ lvert psi rangle $ está dado por $ lvert psi rangle langle psi rvert $.
En general, un tensor en $ H_2 a veces H_1 ^ ast $ corresponde a un operador lineal $ H_1 a H_2 $. En el caso de dimensión finita, estos son todos los operadores lineales, en el caso infinte-dimensional, esto ya no es cierto, por ejemplo, $ H ^ ast a veces H $ son precisamente los operadores de Hilbert-Schmidt en $ H $.
En contraposición, un tensor $ lvert A rangle otimes lvert B rangle $ (también escrito recientemente $ lvert A rangle lvert B rangle $) en $ H_1 otimes H_2 $, aunque corresponde a un bilineal map $ H_1 times H_2 to mathbb {C} $ por definición, no suele significar un operador, sino un estado. Dados dos sistemas cuánticos $ H_1 $ y $ H_2 $, $ H_1 a veces H_2 $ es el espacio de los estados del sistema combinado (en cuanto al por qué, consulte esta pregunta).
La noción de producto tensor es independiente de la estructura espacial de Hilbert, se define para espacios vectoriales en el campo $ mathbb K $ (generalmente $ mathbb R $ o $ mathbb C $). A continuación se da una definición formal (hay muchos enfoques equivalentes).
Primero, si $ V $ es un espacio vectorial, $ V ^ * $ denota su espacio dual algebraico, a saber, el espacio vectorial de los mapas lineales $ f: V to mathbb K $ con estructura vectorial definida por: $$ (af + bg) (u): = af (u) + bg (u) quad forall u en V etiqueta 0 $$ si $ f, g en V ^ * $. Resulta que $ textrm {dim} , V = textrm {dim} , V ^ * $ si $ textrm {dim} , V $ es finito, la prueba es elemental. Sin embargo, la definición dada de $ V ^ * $ no requiere que la dimensión de $ V $ sea finita.
Para continuar, observe que $ V $ se identifica con un subespacio de $ (V ^ *) ^ * $ mediante el mapa lineal inyectivo $$ imath: V ni v mapsto imath (v) quad mbox {donde $ imath (v) (f): = f (v) $ if $ f in V ^ * $} tag 1 $$ La incrustación lineal $ imath: V to (V ^ *) ^ * $ es un isomorfismo de espacio vectorial natural siempre que, nuevamente, $ textrm {dim} , V $ sea finito, la prueba es evidente ya que la incrustación es un mapa lineal e inyectivo entre espacios con igual dimensión finita.
La incrustación (1) nos permite definir un espacio vectorial llamado producto tensor
$$ V_1 otimes ldots otimes V_n $$ de espacios vectoriales $ V_1, ldots, V_n $, con el campo común de escalares $ mathbb K $.
El producto tensorial es un subespacio del espacio vectorial $ { cal L} (V ^ * _ 1, ldots, V ^ * _ n) $ de mapas multilineales $ F $ con $$ F: V ^ * _ 1 times cdots times V ^ * _ n ni (f_1, ldots, f_n) mapsto F (f_1, ldots, f_n) :. $$ El vector La estructura espacial en $ { cal L} (V ^ * _ 1, ldots, V ^ * _ n) $ se define a lo largo de una generalización evidente de (0).
De hecho, si seleccionamos $ v_i en V_i $ para $ i = 1, ldots, n $ podemos construir el mapa multilineal sobre $ V ^ * _ 1 times cdots times V ^ * _ n $ llamado producto tensor de vectores $ v_i en V_i $ como $$ v_1 otimes cdots otimes v_n: (f_1, ldots, f_n) mapsto f_1 (v_1) cdots f_n (v_n) :. $$
Definición. $ V_1 otimes ldots otimes V_n $ es el subespacio de $ { cal L} (V ^ * _ 1, ldots, V ^ * _ n) $ abarcado por todas las combinaciones lineales finitas de productos tensoriales $ v_1 otimes cdots otimes v_n $ por $ v_i en V_i $ por $ i = 1, ldots, n $.
Resulta que, si $ dim V_i $ es finito para cada $ i $, entonces $ dim (V_1 otimes ldots otimes V_n) = prod_ {i = 1} ^ n dim V_i $ y $$ V_1 otimes ldots otimes V_n = { cal L} (V ^ * _ 1, ldots, V ^ * _ n) :. $$ (Hay una propiedad del par $ (V_1 otimes ldots otimes V_n, otimes) $ llamado propiedad de universalidad que caracterizan la noción de producto tensorial a nivel de la teoría de categorías, pero no creo que sea necesario describirlo aquí).
Vengamos a la Producto del tensor de Hilbertian de los espacios de Hilbert. Considere un número finito de espacios de Hilbert (complejos) $ H_1, ldots, H_n $ con los respectivos productos escalares hermitianos $ langle cdot | cdot rangle_1, ldots, langle cdot | cdot rangle_n $. Basándonos en la definición anterior, primero podemos definir su algebraico producto tensorial $$ H_1 otimes cdots otimes H_n :. $$ Este no es un espacio de Hilbert todavía. Sin embargo, es posible (no tan fácil) probar que $ H_1 otimes cdots otimes H_n $ admite un producto escalar hermitiano inducido por los de cada $ H_i $. Este producto escalar $ langle cdot | cdot rangle $ es la única extensión lineal derecha y antilineal izquierda de $$ langle psi_1 otimes cdots otimes psi_n | phi_1 otimes cdots otimes phi_n rangle = prod_ {i = 1} ^ n langle psi_i | phi_i rangle_i :. tag 2 $$ La mencionada extensión (anti) lineal es necesario porque $ psi_1 otimes cdots otimes psi_n $ no es el elemento genérico de $ H_1 otimes cdots otimes H_n $, el elemento genérico es un finito combinación lineal de estos elementos!
Resulta que la extensión única (anti) delineador de (2) define un producto escalar hermitiano en $ H_1 otimes cdots otimes H_n $, en particular la extensión es positivamente definido.
Definición. El producto del tensor de Hilbert de los espacios de Hilbert (complejos) $ H_1, ldots, H_n $ es el espacio de Hilbert (complejo) $ H_1 otimes_H cdots otimes_H H_n $ dado como terminación del producto algebraico tensot $ H_1 otimes cdots otimes H_n $ con respecto al producto escalar hermitiano $ langle cdot | cdot rangle $ que únicamente (anti) se extiende linealmente (2).
La terminación $ overline {V} $ de un espacio vectorial $ V $ equipado con un producto escalar hermitiano $ langle cdot | cdot rangle $ es el espacio completo (Hilbert) de las clases de equivalencia de las secuencias de Cauchy en $ V $ equipado con la extensión continua única de $ langle cdot | cdot rangle $. Por lo tanto, está definido de forma única (hasta los isomorfismos del espacio de Hilbert) y $ V $ es denso en $ overline {V} $.
Un resultado fundamental (también en QM) es que,
Proposición. Si $ { psi_ {i, j_i} } _ {j_i en I_j} subconjunto H_i $ es una base de Hilbert (incluso incontable) del espacio de Hilbert $ H_i $ entonces $$ { psi_ {1, j_1 } otimes cdots otimes psi_ {n, j_n} } _ {j_1 in I_1, ldots, j_n in I_n} subconjunto H_1 otimes_H cdots otimes_H H_n $$ es una base de Hilbert de $ H_1 otimes_H cdots otimes_H H_n $.
Por lo tanto $ H_1 otimes_H cdots otimes_H H_n $ es separable si cada $ H_i $ es separable.
Un segundo resultado importante, muy utilizado en QM, en el caso $ H_i = L ^ 2 (X_i, mu_i) $ donde $ mu_i $ es $ sigma $ -finite (como para la medida estándar de Lebesgue sobre $ mathbb R ^ n $) dice lo siguiente.
Proposición. Suponga $ H_i = L ^ 2 (X_i, mu_i) $, donde $ mu_i $ es $ sigma $ -finito. Luego, el mapa $$ L ^ 2 (X_1, mu_1) otimes_H cdots otimes_H L ^ 2 (X_n, mu_n) ni psi_1 otimes cdots otimes psi_n mapsto psi_1 cdots psi_n en L ^ 2 (X_1 times cdots times X_n, mu_1 otimes cdots otimes mu_n) $$ se extiende de forma única de forma continua y lineal a un isomorfismo espacial de Hilbert.
Por encima de $ psi_1 cdots psi_n $ está el producto puntual estándar $$ psi_1 cdots psi_n (x_1, ldots, x_n): = psi_1 (x_1) cdots psi_n (x_n) :. $$
NÓTESE BIEN: De ahora en adelante denotaré con $ H_1 otimes cdots otimes H_n $ el producto del tensor de Hilbertian omitiendo el índice $ _H $, adoptando así la notación estándar en los libros de texto de Mecánica Cuántica.
Ahora estoy en una posición en la que puedo responder rigurosamente a la pregunta. Primero observe que el espacio dual topológico $ H ‘$ de un espacio de Hilbert $ H $, que es el subespacio $ H’ subconjunto H ^ * $ formado por continuo mapas lineales $ f: H to mathbb C $ es un espacio de Hilbert por derecho propio.
De hecho, el célebre teorema de Riesz establece que
Teorema. Si $ H $ es un espacio de Hilbert con producto escalar $ langle cdot | cdot rangle $, el mapa $$ H ni psi mapsto langle psi | cdot rangle in H ‘$$ es anti-lineal y biyectiva. Así, cada elemento $ f $ del espacio dual topológico $ H ‘$ está representado por $ langle psi_f | cdot rangle $ con $ psi_f en H $ determinado únicamente por $ f $.
Obviamente $ H ‘$ es el espacio de los vectores “sujetador” que acortan $ langle psi | cdot rangle $ a $ langle psi | $.
Está claro que, en vista del resultado indicado, $ H ‘$ resulta ser un espacio de Hilbert tan pronto como definimos el producto escalar $$ langle f | g rangle ‘: = overline { langle psi_f | psi_g rangle} :. $$
Esta característica de $ H ‘$ nos permite definir el producto tensorial de Hilbert. $$ H_1 a veces H_2’ $$ los elementos son combinaciones lineales (también infinitas siempre que converjan en la topología natural del espacio) de productos tensoriales elementales $$ psi otimes f = | psi rangle otimes langle phi | = | psi rangle langle phi | $$ donde empleé también algunas notaciones comunes que se usan en los libros de texto de física.
La diferencia entre $ | psi rangle otimes | phi rangle $ (un elemento de $ H_1 otimes H_2 $) y $ | psi rangle otimes langle phi | $ (un elemento de $ H_1 otimes H_2 ‘$) ahora debería ser evidente.
También está claro que $ | psi rangle otimes langle phi | $ define un continuo operador $ H_2 a H_1 $. También las combinaciones lineales infinitas de estos operadores, que se asume que son convergentes con respecto al producto escalar natural en $ H_1 a veces H_2 ‘$, definen operadores lineales continuos $ H_2 a H_2 $. Estos operadores son compacto (transforman conjuntos acotados en conjuntos compactos) y satisfacen una propiedad adicional con respecto a la noción de rastro que los caracteriza como Operadores de Hilbert-Schmidt desde $ H_2 $ hasta $ H_1 $.
Como observación final, observe que $ I = sum_k | psi_k rangle langle psi_k | $ se refiere a una base de Hilbert. $ { Psi_k } _ {k in K} $ no pertenece a $ H_1 ¡A veces H_2 ‘$ a pesar de la notación si $ K $ no es finito! Esto se debe a que ese vector no tiene una norma finita en $ H_1 a veces H_2 ‘$ y la convergencia de la serie debe interpretarse explotando otra topología, la llamada topología de operador fuerte.