Esta es la respuesta más correcta que te podemos compartir, pero obsérvala pausadamente y valora si es compatible a tu trabajo.
Solución:
(La mayor parte de esto se escribió antes del apéndice reciente. Aborda la pregunta original del OP, no el apéndice).
(a) Supongamos que tenemos bases distintas $B_1$ y $B_2$ que dan la misma solución básica $bf x$. Ahora, supongamos (estamos buscando una contradicción) que $bf x$ no es degenerado; es decir, cada una de las variables $m$ en $bf x$ es distinta de cero. Por lo tanto, cada una de las $m$ variables en $B_1$ es distinta de cero, y cada una de las $m$ variables en $B_2$ es distinta de cero. Dado que $B_1$ y $B_2$ son distintos, hay al menos una variable en $B_1$ que no está en $B_2$. Pero esto produce al menos $m+1$ variables distintas de cero en $bf x$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, $bf x$ debe ser degenerado.
(b) No. El contraejemplo vinculado por el OP implica el sistema $$ beginalign x_1 + x_2 + x_3 = 1, \ -x_1 + x_2 + x_3 = 1, \ x_1, x_2, x_3 geq 0. endalinear$$
Hay tres bases potenciales en este sistema: $B_1 = x_1, x_2$, $B_2 = x_1, x_3$, $B_3 = x_2, x_3$. Sin embargo, $B_3$ en realidad no puede ser una base porque la matriz correspondiente $beginbmatrix 1 & 1 \ 1 & 1 endbmatrix$ no es invertible. $B_1$ produce la solución básica $(0,1,0)$ y $B_2$ produce la solución básica $(0,0,1)$. Ambos son degenerados, pero sólo hay una base correspondiente a cada uno.
(c) No. Mira el sistema $$ beginalign x_1 + x_2 = 1, \ x_2 + x_3 = 1, \ x_1, x_2, x_3 geq 0. endalign $$ El básico la solución $(0,1,0)$ corresponde a las bases $x_1, x_2$ y $x_2, x_3$. La única otra base es $x_1, x_3$, lo que implica que la única otra solución básica es $(1,0,1)$. Por tanto, la solución básica degenerada $(0,1,0)$ no es adyacente a otra solución básica degenerada.
(Más sobre la parte (a), abordando las preguntas de OP en los comentarios.)
Digamos que hay $n$ variables totales en el problema: $x_1, x_2, ldots, x_n$. Cada base $B$ consta de unos $m$ de estas variables. La solución básica $bf x$ correspondiente a una base dada $B$ tiene las otras $nm$ variables iguales a $0$. (Establecerlos en $0$ es en parte cómo determina el valor de $bf x$; consulte, por ejemplo, los ejemplos anteriores). Si $bf x$ es degenerado, es posible que algunas de las variables en $B$ sean iguales a $0$ también, pero el punto en términos del argumento es que $bf x$ no puede tener más de $m$ variables distintas de cero.
Ahora, suponga que $B_1$ y $B_2$ son distintos y cada uno tiene $m$ variables distintas de cero, pero ambas corresponden a $bf x$. Digamos $B_2 = x_1, x_2, ldots, x_m$. Dado que $B_1$ y $B_2$ son distintos, $B_1$ tiene al menos una variable que no está en $B_2$. Digamos que esta variable es $x_m+1$. Pero dado que todas las variables en $B_1$ y $B_2$ son distintas de cero, eso significa que $x_1, x_2, ldots, x_m, x_m+1$ son todas distintas de cero. Sin embargo, $B_1$ y $B_2$ corresponden a $bf x$, lo que significa que hay al menos $m+1$ variables distintas de cero en $bf x$. Eso no puede suceder para una solución básica, por lo que tenemos una contradicción.
Si guardas algún recelo o forma de prosperar nuestro post te proponemos ejecutar una reseña y con placer lo leeremos.