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Solución:
Intuitivamente, los vectores que son linealmente independientes significan que representan direcciones independientes en sus espacios vectoriales, mientras que los vectores linealmente dependientes significan que no lo hacen. Entonces, por ejemplo, si tiene un conjunto de vectores $x_1, …, x_5$ y puede caminar cierta distancia en la dirección $x_1$, luego una diferencia de distancia en $x_2$, luego nuevamente en la dirección de $x_3$. Si al final vuelves a donde empezaste, entonces los vectores son linealmente dependientes (observa que no usé todos los vectores).
Esta es la intuición detrás de la noción y puede convertirla en una definición porque en el ejemplo anterior, si comenzamos en $0$, caminamos $a_i$ en la dirección $x_i$, luego el párrafo anterior dice que $a_1x_1+a_2x_2+ a_3x_3=0$. (Así es como debe pensar en las combinaciones lineales, como direcciones a seguir dadas por sus vectores).
Finalmente diré que debes memorizar las definiciones. He enseñado álgebra lineal a estudiantes que es su primera clase de matemáticas basada en pruebas, y muchos estudiantes no se dan cuenta de lo importante que es conocer la definición PRECISA. Las definiciones son cruciales y cambiar una sola palabra puede cambiar completamente el significado. Entonces, mi consejo cuando recién comienza es que debe hacer tarjetas de memoria flash de TODAS las definiciones en su libro y memorizarlas. Luego, una vez que los conozca exactamente, mire los ejemplos después de la definición en el libro y vea cómo los ejemplos se ajustan a la definición.
Los vectores son dependiente (‘dependen unos de otros’) si existe alguna relación entre ellos (además de la que tiene todos los 0 presentes para cualquier colección de vectores). Entonces, dependiente significa que hay alguna relación diferente a todos los 0.
De manera diferente: independiente significa que si desea que una combinación lineal de los vectores sume el vector 0, debe asegurarse de que cada parte de la combinación independientemente es 0; así cada coordenada en la solución $0$.
Una perspectiva más amplia sobre la dependencia lineal es la teoría de relaciones en la teoría de grupos. En términos generales, una relación es una ecuación satisfecha por los elementos de un grupo, por ejemplo, $(ab)^-1=b^-1a^-1$; relaciones básicamente equivalen a declarar cómo los elementos del grupo depender el uno del otro. Una conveniencia útil es que las relaciones siempre se pueden poner en la forma “$rm blah=identity~element$” simplemente invirtiendo un lado al otro, por ejemplo, $ab=cLeftrightarrow abc^-1=e$ .
Los grupos abelianos (generalmente, módulos) tienen operaciones de grupo aditivas, por lo que una relación se vería como una ecuación $2a+b=3c$ o equivalentemente $2a+b-3c=0$. En particular, un espacio vectorial es un módulo sobre un campo, por lo que en lugar de solo números enteros, podemos tener cualquier escalar de campo involucrado en nuestras ecuaciones con vectores. En última instancia, una dependencia lineal es donde los vectores satisfacen alguna relación entre sí.
Por el contrario, un conjunto de vectores es linealmente independiente si no satisfacen ninguna ecuación de linealidad que no sea la obvia y trivial que involucra solo ceros (este caso no es interesante porque se aplica universalmente y, por lo tanto, esencialmente no dice nada de valor). Por ejemplo, $2a+b=3c$ es imposible si $a,b,c$ es LI
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