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Solución:
El espacio de Minkowski es un verdadero espacio afín de dimensión $ 4 $ cuyo espacio de traducciones está dotado de una métrica de tipo lorentziano.
A (real) espacio afín es un triple $ ( mathbb A, V, vec ) $, dónde $ mathbb A $ es un conjunto cuyos elementos se dicen puntos, $ V $ es un espacio vectorial (real) y $ vec $ es un mapa $ vec : mathbb A times mathbb A a V $ con las siguientes propiedades,
$$ forall q in mathbb A :, forall v in V :, existe mbox y es único p in mathbb A quad mbox tal que quad vec qp = v :, etiqueta 1 $$
$$ vec pq + vec qr = vec pr quad forall p, q, r in mathbb A :. tag 2 $$
por definición, el dimensión del espacio afín es el de $ V $, cuyos elementos se dicen traducciones.
De ahora en adelante, si $ p, q in mathbb A $ a $ v en V $, $$ p = q + v $$
medio
$$ vec qp = v :. $$
Forma (1) esta notación está bien planteada. $ q + v $ es la acción de la traducción $ v $ en el punto $ q $. Esta acción es transitiva y libre, su existencia corresponde físicamente a la homogeneidad tanto del espacio como del tiempo en la relatividad especial.
Asumiendo que $ V $ es de dimensión finita, si se fija $ o in mathbb A $ y una base $ e_1, ldots, e_n en V $, a sistema de coordenadas Cartesianas en el espacio afín $ mathbb A $con origen $ o $ y ejes $ e_1, ldots, e_n $ es el mapa biyectivo
$$ mathbb R ^ n ni (x ^ 1, ldots, x ^ n) mapsto o + sum_ j = 1 ^ nx ^ je_j in mathbb A $$
Una vez más, usando (1) uno ve que, de hecho, el mapa de arriba es bijetivo y por lo tanto identifica $ mathbb A $ con $ mathbb R ^ n $.
Cambiando $ o $ para $ o ‘$ y la base $ e_1, ldots, e_n $ a la base $ e’_1, ldots, e_n ‘$, se obtiene un sistema de coordenadas cartesiano diferente $ x ‘^ 1, ldots, x’ ^ n $. Simplemente se demuestra que la regla para pasar del último sistema de coordenadas al primero tiene la forma
$$ x ‘^ a = c ^ a + sum_ j = 1 ^ n A ^ a _j x ^ j tag 3 $$
por $ n $ coeficientes constantes $ c ^ j $ y un no singular $ n veces n $ matriz de coeficientes $ A ^ a _j $.
Dicha matriz verifica
$$ e_k = sum_ i = 1 ^ n A ^ i _k e’_i tag 3 ‘ $$
mientras que los coeficientes $ c ^ k $ son los componentes del vector $ vec oo ‘ $.
(De hecho, la estructura afín da lugar a una estructura analítica real diferenciable natural en $ mathbb A $ de dimensión $ n $.)
Un espacio real afín equipado con un producto (pseudo) escalar en $ V $ se llama (pseudo) espacio euclidiano.
Espacio-tiempo de Minkowski $ mathbb M ^ 4 $ es un espacio afín cuatridimensional (real) equipado con un producto pseudoescalar $ g: V veces V a mathbb R $ de Tipo lorentziano.
“De tipo lorentziano” significa que existen bases, $ e_0, e_1, e_2, e_3 $, en $ V $ tal que (adopto aquí la convención $ – +++ $)
$$ g (e_0, e_0) = – 1 :, quad g (e_i, e_i) = 1 mbox if $ i = 1,2,3 $ :, quad g (e_i, e_j) = 0 mbox if $ i neq j $. Tag 4 $$
Estas bases se llaman Bases minkowskianas. Grupo Lorentz $ O (1,3) $ no es más que el grupo de matrices $ Lambda $ conectando pares de bases minkowskianas. Por lo tanto, se define por
$$ O (1,3): = left Lambda in M (4, mathbb R) : $$
dónde $ eta = diag (-1,1,1,1) $ es la matriz que representa la métrica $ g $ en (4) en cada base Minkowskiana.
A Sistema de coordenadas minkowskiano sobre $ mathbb M ^ 4 $ es un sistema de coordenadas cartesiano cuyos ejes son una base Minkowskiana.
Transformaciones de Lorentz son transformaciones de coordenadas entre pares de sistemas de coordenadas de Minkowskian con el mismo origen (así que eso $ c ^ k = 0 $ en 3)). Así tienen la forma
$$ x ‘^ a = sum_ j = 1 ^ n Lambda ^ a _j x ^ j $$
para algunos $ Lambda en O (1,3) $. Si admitimos orígenes diferentes obtenemos el llamado Transformaciones de Poincaré
$$ x ‘^ a = c ^ a + sum_ j = 1 ^ n Lambda ^ a _j x ^ j :. $$
Al ver las transformaciones de Lorentz como transformación de coordenadas, su linealidad formal no juega un papel físico relevante, ya que solo refleja la elección inicial arbitraria del mismo origen para ambos marcos de referencia. Sin embargo, estas transformaciones también son transformaciones de bases (3 ‘) en el espacio de traslaciones (el espacio tangente), en este caso la linealidad es natural porque refleja la estructura espacial lineal natural de las traslaciones.
Estrictamente en el sentido de transformaciones de coordenadas en la relatividad especial (es decir, no en la relatividad general), las transformadas de Lorentz son en realidad homogéneo, no lineal. La linealidad es, como bien nota, es una propiedad formal de la transformación solo en un determinado sistema de coordenadas, el sistema cartesiano. No es necesario recurrir a la identificación del espacio-tiempo con un espacio vectorial.
Entonces, ¿qué significa homogeneidad? Significa que la transformación no estropea la invariancia traslacional. La traslación de un conjunto de puntos coloca un conjunto de líneas paralelas a través de cada punto y luego mueve cada uno de los puntos a lo largo de su línea en la misma distancia. La transformación de Lorentz tiene esta propiedad agradable de que dos líneas paralelas arbitrarias en cualquier sitio en el espacio (es decir, no solo los del origen) permanecen paralelos incluso después de la transformación.
Esta es una declaración geométrica independiente de las coordenadas y físicamente un requisito de la misma velocidad para tener un significado invariante. Recuerde que estamos en un espacio-tiempo, por lo que una línea recta es en realidad una partícula que se mueve a una velocidad constante a través del espacio y una familia de líneas paralelas es una familia de objetos a la misma velocidad. Es decir, cualquier observador observa que dos objetos a la misma velocidad tienen la misma velocidad.
Suponemos ahora que podemos elegir un sistema de coordenadas en el que cada familia de líneas paralelas se puede caracterizar por una pendiente de desplazamiento de coordenadas única: múltiplos de módulo de esa pendiente. Requerimos que una transformación de Lorentz conserve esta estructura, lo que eventualmente conduce a la linealidad de la transformación en este sistema de coordenadas tan especial.
Este conjunto de coordenadas en el que podemos identificar líneas paralelas por pendientes de coordenadas, son las coordenadas cartesianas y un cierto “tiempo natural”. Las familias construidas de líneas paralelas serían entonces una especie de espacio proyectivo (la definición de la introducción del artículo wiki no se aplicaría, pero la estructura es realmente la misma).
Una de las propiedades de un espacio proyectivo es la homogeneidad, la propiedad de ser invariante a la multiplicación por un número. Así, el nombre de homogeneidad de Lorentz se transforma: induce un isomorfismo de espacios proyectivos (“homogéneos”).
La relatividad especial tiene lugar en Espacio Minkowski, Cuál es el espacio vectorial $ mathbb R ^ 4 $ equipado con el producto interno dado por la matriz
$$ G = left ( begin matrix -1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end matriz right) text con producto interno langle x, y rangle: = x ^ TG y ; para todos ; x, y in mathbb R ^ 4 $$
No somos libres de elegir ninguna base de este espacio vectorial si queremos preservar la métrica plana de Minkowski $ G $ en su dado, es decir, no todas las bases (o coordinar) Las transformaciones en $ mathrm GL (4, mathbb R) $ son adecuadas para dejar la física invariante. El conjunto de transformaciones de base que preservan el producto interno se denomina isometrías, y eso es precisamente lo que es el grupo de Lorentz $ mathrm SO (1,3) $ – el grupo de transformaciones que dejan invariante el producto interno de Minkowski, es decir, todas las matrices $ M $ cumplen
$$ M ^ TGM = M $$
Si miras relatividad especial en un contexto un poco más general, es decir, en variedades cuatridimensionales arbitrarias donde cada espacio tangente lleva la métrica de Minkowski, entonces debes entender una transformación de Lorentz como un cambio de coordenadas en la variedad cuyo jacobiano es un elemento de $ mathrm SO ( 1,3) $ en cada punto (es decir, en todos los espacios tangentes), ya que los cambios de coordenadas actúan sobre los espacios tangentes por parte de sus jacobianos.
De cualquier manera, las transformaciones de Lorentz $ mathrm SO (1,3) $ están transformaciones lineales en los espacios tangentes, inducidas por una transformación de coordenadas.
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