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Solución:
Este es un tema muy amplio, pero como regla general, altamente no lineal significa que las no linealidades no pueden tratarse con la teoría de perturbaciones, ya que son no insignificantes en comparación con la parte lineal de las ecuaciones (y, en general, no solo no son despreciables, sino que en realidad dominan la dinámica).
Como ejemplo de una teoría no lineal que puede tratarse en la teoría de perturbaciones, considere QED. Por otro lado, las ecuaciones altamente no lineales pueden ser cualquier cosa que modele turbulencia, especialmente en el caso de la relatividad general: por ejemplo, la modelización de la dinámica de una supernova. Para un ejemplo muy claro de un sistema altamente no lineal, le recomiendo que vea esta simulación del colapso de un núcleo: Now Playing: Core Collapse:
Las ecuaciones lineales son siempre una aproximación de los procesos físicos reales, por lo que es seguro decir que todos los sistemas reales son no lineales hasta cierto punto. Todavía puede llamar a muchos sistemas lineales, si su comportamiento puede describirse mediante ecuaciones lineales con suficiente precisión.
Del mismo modo, si llama a un sistema no lineal, generalmente significa que es sustancialmente no lineal, por lo que las ecuaciones lineales no son suficientes para describirlo. A menudo, aún puede linealizar esas ecuaciones alrededor de un punto determinado para obtener una solución lineal local. A pesar de ser local, esta solución local puede ser bastante útil, especialmente si el “punto de trabajo” puede permanecer estable. Por ejemplo, así es como se modelan la mayoría de los componentes electrónicos.
Finalmente, hay sistemas que no tienen un punto de trabajo útil (por ejemplo, sistemas caóticos). Si tales sistemas también son no lineales, las soluciones lineales locales no tienen mucho sentido, ya que su estado se “desviará” rápidamente hasta el punto en que tales soluciones pierdan toda precisión. Ese es el tipo de sistemas que yo llamaría altamente no lineal.
Para ecuaciones diferenciales ordinarias o diferenciales parciales, existe una distinción práctica entre sistemas débilmente no lineales donde los métodos de solución “estándar” (elementos finitos, diferencias finitas, volumen finito, etc.) para el sistema lineal correspondiente aún funcionan bien, y sistemas fuertemente no lineales donde puede que no funcione en absoluto.
Un ejemplo de este tipo de sistema débilmente no lineal sería la ecuación de conducción de calor en una situación en la que las propiedades del material (calor específico y conductividad) son funciones de temperatura que varían suavemente. Un procedimiento de solución estándar (p. ej., marcha en el tiempo de Crank-Nicholson) probablemente funcionará bien simplemente usando las “mejores estimaciones” de las propiedades del material, basadas en las temperaturas calculadas, en cada paso de tiempo.
Por otro lado, es poco probable que este enfoque sencillo funcione para el sistema de transferencia de calor que implica cambios de fase y calor latente, por ejemplo, modelando la forma de la interfaz entre las fases sólida y líquida a medida que el sistema se calienta o se enfría. El método numérico debería incluir el calor latente (por ejemplo, reformulando el problema en términos de entalpía en lugar de temperatura) y también el hecho de que si la discretización del material se fija en el espacio, el límite entre las fases no coincidirá exactamente con los puntos de discretización.
Al resolver cualquier conjunto de ecuaciones simultáneas (no necesariamente derivadas de una ODE o PDE) mediante un método iterativo, a menudo se puede hacer una división similar entre no linealidad débil y fuerte.
Si conservas algún interrogante y forma de ascender nuestro ensayo eres capaz de añadir un informe y con gusto lo estudiaremos.