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Solución:
Una ecuación diferencial de la forma
$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 tag1$
es homogénea de grado$n$ siempre que exista un $n in BbbZ$ tal que
$M(tx, ty) = t^nM(x, y) tag2$
y
$N(tx, ty) = t^nN(x, y); tag3$
si (1) es una ecuación de este tipo, estableciendo
$x = rcos thetatag4$
y
$y = rsin theta, tag5$
encontramos
$M(rcos theta, rsen theta)dx + N(rcos theta, rsen theta)dy = 0 tag6$
se convierte
$r^nM(cos theta, sin theta)dx + r^nN(cos theta, sin theta) dy = 0. tag7$
Ahora (4) y (5) producen
$dx = drcos theta – rdtheta sin theta tag8$
y
$dy = dr sin theta + rdtheta cos theta; tag9$
insertando estas dos ecuaciones en (7) obtenemos
$r^nM(cos theta, sin theta)(drcos theta – rdtheta sin theta)$$+ r^nN(cos theta, sin theta) (dr sin theta + rdtheta cos theta) = 0. tag10$
Juntamos términos semejantes (en $dr$ y $dtheta$):
$r^n(M(cos theta, sin theta)cos theta + N(cos theta, sin theta)sin theta)dr$$- r^n + 1(M(cos theta, sin theta)sin theta – N(costheta, sin theta)cos theta) dtheta = 0. tag11$
Algunos rendimientos algebraicos menores (tenga en cuenta que podemos cancelar $r^n$ siempre y cuando $rne 0$donde los polares son en todo caso indefinidos):
$dfracdrr = dfracM(cos theta, sin theta)sin theta – N(costheta, sin theta)cos thetaM( cos theta, sin theta)cos theta + N(cos theta, sin theta)sin theta dtheta, tag12$
y ¡voilá! variables separadas.
Ahora intenta integrarlo.
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