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Solución:
En primer lugar, hay un error tipográfico en su pregunta y es $u_x = fracu parcialx parcial~.$ en realidad es $~u_x = fracdudx~$ como aquí $~u=u(x)~$. Ahora ven a la respuesta de la pregunta “Cómo obtener este resultado final ?”
Responder: La transformación de coordenadas polares es $$x = rcostheta, u = rsintheta$$
Asi que $$dx=dleft(rcosthetaright)=costheta~dr~-~rsintheta~dtheta$$ y $$du=dleft(rsinthetaright)=sintheta~dr~+~rcostheta~dtheta$$
Ahora la ecuación dada es $$(ux)u_x+u+x=0$$$$implica (ux)du+(u+x)dx=0$$$$implica (rsintheta-rcostheta)(sintheta~dr~+~rcostheta~dtheta)+(rsintheta+rcostheta )(costheta~dr~-~rsintheta~dtheta)=0$$$$implica rdrleft[sin^2theta-sinthetacostheta+sinthetacostheta+cos^2thetaright]+r^2dthetaizquierda[sinthetacostheta-cos^2theta-sin^2theta-sinthetacosthetaright]=0$$$$implica dr~+~rdtheta=0$$$$implica dfracdrdtheta+r=0$$
Las trayectorias, curvas solución, de
$$ fracdudx=fracu+xxu $$
se puede obtener como las soluciones del sistema lineal
$$ pmatrixpunto x(t)\punto u(t)=pmatrix1&-1\1&1pmatrixx(t)\u(t) $$
La matriz corresponde al número complejo $1+i$de modo que
$$ fracddt(x(t)+iu(t))=(1+i)(x(t)+iu(t)) $$
que ahora se puede resolver como una ecuación escalar de valores complejos. Al mismo tiempo, muestra por qué tendría sentido considerar la descomposición polar de $x+u$ en absoluto.
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