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Laplace, Legendre, Fourier, Hankel, Mellin, Hilbert, Borel, Z …: ¿tratamiento unificado de las transformaciones?

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Solución:

La idea esencial de muchas transformaciones es cambiar la base en el espacio de funciones con la esperanza de que en la nueva base el problema se simplifique.

Permítanme darles un ejemplo de dimensión finita. Suponga que tenemos una matriz $ 2 times2 $ $ A $ y queremos calcular $ A ^ 1000 $. El enfoque directo no sería muy prudente. Sin embargo, si primero diagonalizar $ A $ as $ PA_dP ^ – 1 $ (es decir, rotar la base en $ P $), el cálculo se vuelve mucho más fácil: la respuesta está dada por $ PA_d ^ 1000 P ^ – 1 $ y potencias de cálculo de matriz diagonal es una tarea muy sencilla.

Un ejemplo de dimensión infinita algo análogo sería la solución de la ecuación de calor $ u_t = u_ xx $ usando la transformada de Fourier $ u (x, t) rightarrow hat u ( omega, t) $. El punto es que en la base de Fourier el operador $ parcial_ xx $ se vuelve diagonal: simplemente multiplica $ hat u ( omega, t) $ por $ – omega ^ 2 $. Por lo tanto, en la nueva base, nuestro parcial La ecuación diferencial se simplifica y se convierte en ordinario ecuación diferencial.

En general, la existencia de una transformada adaptada a un problema particular está relacionada con su simetría. Las nuevas funciones de base se eligen para que sean funciones propias de los generadores de simetría. Por ejemplo, en el ejemplo anterior de PDE teníamos simetría de traducción con el generador $ T = -i partial_x $. De la misma manera, por ejemplo, la transformada de Mellin está relacionada con la simetría de escala, etc.

Hay varias formas en que se pueden encontrar conexiones entre las transformadas de Fourier, Laplace, Z, Mellin, Legendre, et al.

La justificación es cambiar la representación de un problema (por ejemplo, una ecuación diferencial) para simplificar y así resolver más fácilmente.

Por ejemplo, como se dijo antes, la mayoría de las transformadas provienen directamente de intentar resolver problemas específicos de Sturm-Liouville (por ejemplo, Fourier, Laplace, etc.), por lo que en este sentido las diferentes condiciones del problema especifican una transformada a usar. Por ejemplo por diagonalizando (o desacoplamiento en el lenguaje de la física) el operador (diferencial) de una descripción del sistema. Este proceso luego define el núcleo de la transformada integral, que a su vez describe el tipo de transformada integral (por ejemplo, Laplace, Fourier, etc.).

La forma en que esto funciona y se aplica una determinada transformación es la siguiente:

  1. Dado que el operador diferencial $ d / dx $ tiene como vector propio (función propia) la función exponencial $ e ^ x $ (es decir, $ de ^ x / dx = e ^ x $), es natural expresar el ( solución de) ciertas ecuaciones diferenciales en términos de (o como expandidas) las funciones propias del operador (diferencial). Esto luego deriva naturalmente algunas de las transformadas conocidas, como Laplace y Fourier.

  2. Un vector propio / función propia de un operador es esa función que se deja como está por la aplicación del operador. O en otras palabras, estas funciones en las que el operador tiene el efecto más simple. Es natural y más fácil expresar soluciones con estas funciones, ya que tendrán la interacción más simple con el operador (diferencial) que describe el sistema en estudio.

  3. Ahora se ve cómo el análisis del operador (diferencial) en términos de sus propias funciones propias simplifica (la solución de) el problema. Estas funciones propias definen la transformada integral (su núcleo) y este campo de estudio (del cual las transformadas integrales forman parte) se denomina Teoría espectral (de operadores).

Por ejemplo, cada transformada integral es un operador lineal, ya que la integral es un operador lineal y, de hecho, si se permite que el núcleo sea una función generalizada, entonces todos los operadores lineales son transformadas integrales (una versión correctamente formulada de esta declaración es la de Schwartz teorema del núcleo).

de wikipedia, Transformación integral

Otra forma de adquirir una visión unificada de las transformaciones es pensar como una transformación que cambia con respecto al cambio del dominio subyacente del problema. Por ejemplo, la transformada de Mellin se puede ver como la transformada de Fourier cuando se hace un cambio de variables de $ x a log (y) $. La transformada de Laplace puede verse como la transformada de Fourier en una linea en lugar de en un circulo por cambio de variables $ i omega a s $ o $ e ^ i omega a e ^ s $

Para aplicaciones discretas, la transformada de Fourier discreta al cambiar las variables $ e ^ i omega a e ^ i omega_k = e ^ i omega_0k = e ^ 2 pi k / n $ o $ omega_k to 2 pi k / n $ para $ k = 0, .., n-1 $ (muestreando el círculo unitario en ángulos regulares o muestreando la frecuencia en intervalos regulares de $ n $)

La transformada Z puede verse como el análogo dicrete de la transformada de Laplace o como la transformada discreta de Fourier extendida más allá del círculo unitario, es decir, $ e ^ i omega_0k to z ^ k $

La transformada de Legendre se puede ver como la transformada de Fourier en un semiring idempotente en lugar de un anillo

Aparte de eso, la mayoría de las transformaciones tienen un significado geométrico directo y también un significado y caracterización de teoría de grupo.

Si quieres generalizar más, puedes ir al no lineal dominio y generalizar la transformada de Fourier, una de esas generalizaciones es la Transformada de Dispersión Inversa que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales no lineales

Nuevamente, el fundamento es simplificar la representación del problema y / o expresarlo en otros términos conocidos. Solo en este caso (al menos para IST) el problema no es del tipo Sturm-Liouville sino del tipo más general de Riemann-Hilbert

Transformaciones integrales

Teorema de Parseval para las transformadas de Fourier y Legendre

Lo más parecido a una teoría general que conduce a MUCHOS de los anteriores (aunque no a todos) es la teoría de Sturm-Liouville. Básicamente, muchas de estas transformaciones provienen del estudio de fenómenos físicos a través de ecuaciones diferenciales lineales, donde, como se ha señalado en las respuestas anteriores, las transformadas específicas diagonalizan al operador diferencial. Resulta que MUCHOS fenómenos físicos de interés obedecen a ecuaciones diferenciales de segundo orden del tipo Sturm-Liouville. La misma lógica se aplica realmente a otras ecuaciones diferenciales (o ecuaciones en diferencias en el caso de la transformada z). Una vez que sepa qué funciones resuelven fundamentalmente una ecuación diferencial lineal, querrá crear más funciones que resuelvan el problema mediante una integral o suma sobre estas soluciones fundamentales; esta idea conduce a muchas de las transformadas anteriores. La teoría espectral de los operadores y las ideas de los espacios de Hilbert generalizan esto para los operadores de orden superior. Cada uno de estos tipos de ecuaciones aparece naturalmente en modelos físicos del mundo. Esbozaré algunas de las ecuaciones diferenciales, quiero decir, la transformación asociada y las aplicaciones físicas en las que surgieron.

  1. EDO de coeficiente constante lineal con condiciones de contorno cero antes de t = 0. La función $ e ^ st $ resuelve estos para algunos valores de $ s $. La superposición de estos conduce a la transformada de Laplace. Mellin está estrechamente relacionado. Ecuaciones modelan cinemática, circuitos.

  2. ODE o PDE de coeficiente constante lineal en dominios ilimitados. Las ondas planas $ e ^ jkr $ en múltiples dimensiones las resuelven para un continuo de valores de $ k $. La superposición de estos conduce a la transformada de Fourier (multidimensional). En los dominios acotados, algunas de estas dimensiones se reducen a sumas en lugar de integrales. En cierta simetría cilíndrica las soluciones son funciones de Bessel y Hankel, reduciéndose a la transformada de Hankel. Las ecuaciones modelan la mecánica de ondas, la conducción de calor, la teoría del potencial, etc.

  3. Ecuaciones de diferencia de coeficiente constante lineal en la variable $ n $. La función $ z ^ n $ resolverá estas ecuaciones para algunos valores particulares de $ z $. La superposición de estos conduce a la transformada z. Aparecen recurrencias lineales en la matemática de secuencias y series, filtros digitales, funciones generadoras de probabilidad.

Algunos de los métodos que menciona no pertenecen a esta familia de ecuaciones diferenciales que surgen naturalmente, a saber, las transformadas de Legendre y Hilbert. El Hilbert tiene una forma similar de transformada integral lineal y podría considerarse unificado con el resto. Sin embargo, la transformación de Legendre es algo completamente diferente.

Si sostienes algún recelo y disposición de beneficiar nuestro tutorial puedes ejecutar una glosa y con gusto lo observaremos.

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