Después de mucho luchar pudimos dar con la solución de este enigma que muchos lectores de este sitio web presentan. Si tienes algún dato que aportar no dudes en aportar tu información.
Solución:
Hay muchos de estos espacios vectoriales:
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El espacio de todas las funciones $mathbbRrightarrowmathbbR$ es un espacio vectorial de dimensión incontable sobre $mathbbR$.
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$mathbbR$ es un espacio vectorial de dimensiones incontables sobre $mathbbQ$.
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Si $A$ es cualquier conjunto, el conjunto potencia $mathcalP(A)$ de $A$ es un espacio vectorial sobre el campo con dos elementos $mathbbZ/2mathbbZ$, con suma de vectores dada por “XOR bit a bit”.
Pero permítanme decir un poco más acerca de por qué deberíamos esperar tales cosas, incluso sin ejemplos.
Es útil en este contexto volver a los espacios vectoriales habituales (= de dimensión finita) y abstraerse un poco. A menudo pensamos en un espacio vectorial de dimensión finita como un conjunto de tuplas finitas; por ejemplo, $mathbbR^n$ es el conjunto de $n$-tuplas de números reales, y es el vector canónico de $n$-dimensional. espacio sobre $mathbbR$. Pero una forma más abstracta de pensar en estos espacios vectoriales es como mapas: “el espacio vectorial canónico” $n$-dimensional sobre $mathbbR$ (si está familiarizado con los campos, podemos reemplazar $mathbbR$ con cualquier campo $k$) es el conjunto de funciones $f: 1, 2, …, n\rightarrow mathbbR$. Esto viene de pensar en una tupla como una función: una tupla $3$ de reales es un mapa $f$ de $1, 2, 3$ a $mathbbR$, la idea es que el el primer elemento de la tupla es $f(1)$, el segundo es $f(2)$ y así sucesivamente.
Con esto en mente, ahora podemos generalizar a conjuntos arbitrarios. Dado un conjunto $X$, podemos considerar el conjunto $Fn(X)$ de todas las funciones desde $X$ hasta $mathbbR$ (anteriormente $X$ era $1, 2, …, n$ por algún $n$, o más generalmente un conjunto finito). ¡Resulta que $Fn(X)$ es un espacio vectorial! La suma vectorial viene dada por $$f+g: xmapsto f(x)+g(x),$$ y la multiplicación escalar viene dada por $$af: xmapsto af(x).$$ If $X$ es incontable, $Fn(X)$ un espacio vectorial incontable. Entonces, al reformular los ejemplos habituales de una manera un poco más abstracta, ¡vemos que no hay obstáculo para que haya espacios vectoriales realmente grandes!
En realidad, la construcción que describí anteriormente a menudo no es la que realmente queremos; más bien, normalmente nos preocupamos más por el conjunto $Fn_fin(X)$ de los mapas $Xrightarrow mathbbR$ con apoyo finito, es decir, que son iguales a $0$ en todos menos en un número finito de elementos de $X$. Esto no hace una diferencia cuando $X$ es finito, obviamente, pero hace una gran diferencia cuando $X$ es infinito: por ejemplo, $Fn_fin(mathbbN)$ es numerable, pero $Fn(mathbbN)$ no lo es. Este es un buen ejercicio; para una mitad, demuestre que $Fn_fin(mathbbN)$ puede considerarse como el conjunto de secuencias finitas de números reales, y para la otra mitad use un argumento diagonal.
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