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Solución:
¿Es el espaciotiempo tetradimensional de la relatividad general discreto o continuo?
En la definición habitual de relatividad general, el espacio-tiempo es continuo. Sin embargo, la relatividad general es una teoría clásica y no tiene en cuenta los efectos cuánticos. Se espera que estos efectos aparezcan a distancias muy cortas, donde su pregunta es relevante.
¿Existen evidencias experimentales de continuidad / discreción?
Toda la evidencia experimental apunta al espacio continuo, hasta las distancias más cortas en las que hemos podido medir. No sabemos qué sucede a distancias más cortas. Tampoco tenemos ninguna evidencia experimental directa de que la gravedad sea una teoría cuántica, con la misma salvedad.
Por otro lado, estamos bastante seguros de que una teoría completa de la naturaleza debe incluir la gravedad cuántica y no solo la gravedad clásica. Y tenemos una suposición fundamentada de la escala de distancia a la que los efectos cuánticos deberían ser medibles: esta es la longitud de Planck, aproximadamente $ 10 ^ – 33 $ cm. Esto es mucho más corto que la distancia más corta a la que podemos realizar experimentos, por lo que al menos no nos sorprende que no hayamos visto tales efectos hasta ahora.
Antes de continuar, una advertencia más. Hay un experimento astrofísico interesante y bastante reciente que mostró que la simetría de Lorentz se mantiene incluso por debajo de la longitud de Planck. Si se rompe la simetría de Lorentz, generalmente significa que los fotones con diferentes energías viajarán a diferentes velocidades. En el experimento, lograron detectar un par de fotones que se crearon casi al mismo tiempo pero que tenían energías muy diferentes. Llegaron al detector casi simultáneamente, lo que significa que sus velocidades fueron similares. Debido a que los fotones viajaron una distancia enorme antes de alcanzarnos, deben haber tenido casi la misma velocidad.
Entonces sabemos que al menos la simetría de Lorentz se mantiene a distancias muy cortas, y parece difícil reconciliar este hecho experimental con un espacio-tiempo discreto. Entonces, al menos ingenuamente, parece que esto es una prueba en contra de la discreción.
¿El espacio-tiempo es continuo o discreto?
A grandes distancias, el espacio-tiempo ciertamente puede considerarse continuo. A distancias cortas, la respuesta corta es: no sabemos.
La teoría de cuerdas es la única teoría coherente de la gravedad cuántica que conocemos, donde en realidad podemos calcular cosas con cierta confianza. (Probablemente escuchará algunas opiniones que contradicen esta afirmación, mencionando la gravedad cuántica de bucles, conjuntos causales, etc., que no están relacionados con string teoría, pero lo que dije es el punto de vista común en la comunidad de teóricos de alta energía). La teoría de cuerdas nos está dando algunas pistas fuertes de que quizás el espacio-tiempo a distancias cortas no es continuo o discreto, sino algo más que aún no entendemos .
Entonces, la situación es que incluso teóricamente, sin hablar de experimentos reales que verifiquen la teoría, no sabemos cómo es el espacio-tiempo a distancias cortas. Quizás es por eso que no ve que esta pregunta se mencione mucho. Mi conjetura personal es que el espacio-tiempo a distancias cortas no es continuo ni discreto, pero tiene una naturaleza diferente que puede requerir nuevas herramientas matemáticas para describir.
O mejor, ¿qué pasa si consideramos dimensiones adicionales como string la teoría hipotetiza? ¿Son esas dimensiones adicionales compactas discretas o continuas?
Agregar dimensiones adicionales no cambia nada de lo anterior.
Hay un argumento conocido como el argumento del mosaico de Weyl que no es física sino filosofía, involucra algunas matemáticas realmente fáciles y accesibles para legos como yo. Aún así, estoy tentado de poner esto aquí, ya que responde a su pregunta, aunque probablemente no pertenezca a un foro de física.
En un espacio discreto, digamos un espacio en mosaico cuadrado / rectangular, (por conveniencia) comenzamos construyendo dos lados de un triángulo, cada uno de 1 unidad de longitud. Para atravesar la hipotenusa desde cualquier punto, tenemos que mover una unidad de longitud hacia la derecha (o hacia la izquierda) y una unidad de longitud hacia abajo (o hacia arriba).
Digamos que AC se atraviesa en 2 pasos, AD, DC tenemos una longitud de 2 unidades a lo largo de AC en el espacio en mosaico.
Supongamos que seguimos aumentando el número de pasos tomados de A a C y disminuyendo el tamaño de la unidad de longitud, la ruta a lo largo de AC se vería así:
La longitud a lo largo de la trayectoria en zigzag por encima de AC es aún mayor que la longitud de la hipotenusa por un factor de √2, que era el mismo factor cuando usamos una unidad de espacio mucho más grande y solo 2 pasos (n = 2) para atravesar la hipotenusa !
Este es esencialmente el argumento del mosaico de Weyl.
el primer resultado no converge con el segundo para valores arbitrarios de n, se puede examinar la diferencia porcentual entre los dos resultados: (n√2 – n) ⁄n√2 = 1-1⁄√2. Dado que n se cancela, los dos resultados nunca convergen, incluso en el límite de n grande.
Esto nos dice que no importa cuán pequeña sea la unidad de longitud que tomemos, ni siquiera una longitud infinitesimal, se aproximaría siquiera al teorema de Pitágoras en un espacio discreto. Pasa a ser true debido a la simple observación de que debe poder viajar a través del espacio en cualquier dirección, que es, en este ejemplo, 1/2 hacia la derecha y 1/2 hacia abajo (45 °) simultaneamente para una unidad, y no una unidad hacia la derecha luego una unidad hacia abajo, que es lo que sucede si discretizamos la longitud. Para que funcione el teorema de Pitágoras, una longitud fija medida a lo largo de una dirección no debe variar cuando se mide a lo largo de otra dirección. Esto se conoce como isotropía del espacio, que es una propiedad del continuo. Los modelos discretos con estructuras diferentes a las rectangulares también se pueden refutar utilizando el mismo argumento.
En cierto sentido, este argumento no es presa de afirmaciones infalsificables de que existe discreción, pero más allá de nuestras capacidades para observar experimentalmente. No importa cuán pequeños sean los “granos” o “píxeles”.
Tome 3 palos, dos de ellos con una longitud de 1 metro y uno de aproximadamente 1.414 metros, todos ellos medidos a lo largo de un eje común. Intenta hacer un triángulo rectángulo, si la hipotenusa no llega a completar el triángulo o después de alguna rotación, se extiende más allá de él, (je) estás en un universo con espacio discreto.
Ya era hora
La relatividad misma sólo observa realmente que hay “movimiento” y “asume” que hay “tiempo”.
Si digo, por ejemplo, “El autobús llega aquí a las 9 en punto”, quiero decir implícitamente que el hecho de que la manecilla pequeña de mi reloj señale las 9 y la llegada del autobús son eventos simultáneos.
Esto parece perfectamente aceptable, a menos que se dé cuenta de que estamos comparando las coordenadas (ubicación) de una cosa con una cosa llamada “tiempo”.
Pero, de hecho, las coordenadas de una cosa (un bus) solo se comparan con las coordenadas de otra cosa (la ubicación de un puntero giratorio, o el pulso en el circuito, en el caso de un reloj digital).
El punto es que las coordenadas del espacio se utilizan para medir el tiempo, por lo que se podría decir que en realidad son lo mismo. Si el espacio es continuo, también lo es el tiempo.
Existe una hermosa teoría de la gravedad cuántica llamada “Gravedad cuántica canónica” que tiene como objetivo la relatividad general cuantificada utilizando métodos canónicos típicos (cuantificación canónica / formulación integral de trayectoria). Esta teoría predice una estructura granular al espacio-tiempo mientras mantiene la invariancia de Lorentz local. La teoría proporciona un espectro de valores propios para el área y el volumen cuantificados basándose en los gráficos de redes de espín de Penrose, excepto que la teoría considera clases de equivalencia de redes de espines bajo difeomorfismos. La formulación Path-integral de la teoría consiste en considerar una suma sobre geometrías que es totalmente independiente del fondo, realizada en suma sobre 2 complejos, que son en sí mismos gráficos. Aquí hay un pequeño conjunto de conferencias que pueden interesarle: http://arxiv.org/abs/1102.3660
Respuesta al comentario de OP: No existen pruebas experimentales de gravedad cuántica que conozcamos a partir de ahora, ya sea porque no sabemos interpretar lo que ya tenemos frente a nosotros, o porque simplemente no tenemos la técnica poder / creatividad aún, aunque hay una serie de artículos nuevos que sugieren experimentos que se pueden hacer en el LHC para la gravedad cuántica canónica, que tienen que ver con la evaporación de microagujeros negros y sus espectros de radiación que difieren de los espectros clásicos predicho por QFT en el espacio-tiempo curvo. La gravedad cuántica canónica es también la única teoría dominante de QG sobre la mesa que ofrece predicciones numéricas falsificables que son novedosas; al menos todavía no he visto nada más en los foros y arxiv que lo haga, así que eso no significa mucho.
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