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Solución:
Dejar $X$ sea un espacio de Hausdorff finito. Dejar $xen X$. Para cada $yno =xen X$ dejar $U_y$ y $V_y$ ser conjuntos abiertos disjuntos con $xen U_x$ y $y in V_y$. Establecer $V=taza_ynot = x V_y$. Después $V$ está abierto… Así que $Xsetminus V=x$ está cerrado.
Así cada punto en $X$ está cerrado. Ya que $X$ es finito, todo punto es también abierto (complemento de unión finita de conjuntos cerrados).
De hecho, podríamos decir que todo finito $T_1$ el espacio es discreto, ya que los puntos cerrados equivalen a estar $T_1$.
Eres un poco descuidado al asumir que $x$ está abierto.
Lo que tienes que probar es que cualquier subconjunto de $X$ está abierto. Esto es bastante sencillo ya que cada subconjunto de $X$ es $X$ menos un número finito de puntos, si no es $X$ en sí mismo (que está abierto de todos modos) es menos un número finito de puntos positivos. Es decir, puede escribir el subconjunto como una intersección finita:
$$gran capitalización Xsetminusx_j$$
pero el conjunto $Xsetminus x_j$ está abierto como señalaste. Y se sabe que la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta. Por lo tanto, cualquier subconjunto de $X$ está abierto.
El mismo razonamiento se puede usar para probar especialmente que $x$ está abierto, pero podemos probar que la topología es discreta directamente aquí.
Sí, tiene toda la razón (aunque es posible que desee escribir su argumento para que $x$ esté abierto con un poco más de detalle). Ha demostrado que todos los puntos están abiertos, por lo que se deduce de la axiomas para una topología en la que todo conjunto, como unión de puntos, es abierto. Esta es precisamente la definición de la topología discreta.
La finitud se utiliza para concluir que todo punto es abierto. (Ciertamente no es true que todo espacio infinito de Hausdorff es discreto. ¡Piensa en $mathbb R$!) Si escribes el argumento con más cuidado, verás dónde se usa la finitud.
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