Pudiera darse el caso de que encuentres alguna incompatibilidad con tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un entorno de testing antes subir el código al proyecto final.
Solución:
Hay dos maneras de ver esto.
Una es esta: supongamos que tenemos una secuencia de este conjunto finito. Entonces, al menos uno de los valores debe aparecer un número finito de veces, porque si cada valor aparece un número finito de veces, entonces la secuencia en sí sería un número finito de valores que aparecen un número finito de veces, lo que la convertiría en una secuencia finita, una contradicción. . Por lo tanto, uno de los valores aparece infinitamente muchas veces. Luego, tome la subsecuencia formada por este valor que aparece infinitamente muchas veces. Por supuesto, esto converge. Por lo tanto, el conjunto finito es secuencialmente compacto, por lo tanto, compacto.
La otra forma es aún más simple: supongamos que tenemos una cubierta abierta. Luego, cada punto está contenido en algún conjunto abierto de la cubierta dependiendo de ese punto. Esto significa que hay una subcubierta finita (de hecho, el tamaño de la subcubierta es como máximo el tamaño del conjunto). Por lo tanto, el conjunto es compacto.
Ambos métodos servirían.
En los espacios métricos en general, ser cerrado y acotado no es equivalente a ser compacto. Un conjunto $S$ es compacto si y solo si $F$ es una familia abierta (una familia de conjuntos abiertos) tal que $Ssubconjunto cup F,$ hay un $Gsubconjunto F$ finito tal que $Ssubconjunto taza G.$
Un conjunto finito es compacto. Prueba por inducción.
(1). Si $S=emptyset$ y $F$ es cualquier familia abierta entonces $Ssubset cup F$ y podemos dejar $G=emptyset.$
(2). Suponga que $ngeq 0$ y que cada cubierta abierta de cualquier conjunto de miembros $n$ tiene una subcubierta finita. Entonces, si $S=x\cup T$ tiene $n+1$ miembros con $xnot in T,$ y $F$ es una cubierta abierta de $S,$ entonces $F$ también es una cubierta abierta de $T,$ y $T$ tiene $n$ miembros. Entonces existe un $G^*subconjunto F$ finito tal que $cup G^*supset T.$
Ahora existe $fin F$ con $xin f$ porque $F$ cubre S. Y para cualquier $f,$ el conjunto $G=f\cup G^*$ es finito subconjunto de $F ,$ y $G$ cubre $S.$
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