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Solución:
Para el primer enfoque, tenga en cuenta que $Xintau_infty$, que inmediatamente produce $V_inftysetminus\infty\intau$.
Supongamos que $X$ es un espacio de Hausdorff que es localmente compacto, lo que significa que cada punto tiene una vecindad compacta. Considere un conjunto cerrado $Fsubseteq X$ y un punto $xen Xsetminus F.$ Sea $K$ un entorno compacto de $x.$
Como $X$ es Hausdorff, y como $Fcap K$ es compacto y $xno en Fcap K,$ hay conjuntos abiertos disjuntos $U,V$ tales que $xen U$ y $F cap Ksubseteq V.$
Ahora $xinoperatornameintK$ (ya que $K$ es un vecindario de $x$), y $K$ está cerrado (ya que $K$ es compacto y $X$ es Hausdorff).
Así tenemos conjuntos abiertos disjuntos $U_0=UcapoperatornameintK$ y $V_0=Vcup(Xsetminus K)$ con $xin U_0$ y $Fsubseteq V_0.$
El segundo enfoque puede quedar más claro (para mi gusto, que no tiene por qué coincidir con el tuyo) usando más el idioma inglés.
Una reformulación simple es que está buscando un vecindario cerrado de $x$ que no cumpla con $F$. Ahora $x$ tiene un vecindario compacto $K$ y un vecindario cerrado $W_K$ en $K$ que no cumple con $F$. Dado que $K$ es una vecindad de $x$, $W_K$ también es una vecindad de $x$ en $X$, y dado que $K$ está cerrado, $W_K$ también está cerrado en $X$.
(El vecindario cerrado $W_K$ se puede elegir como el cierre de $U_K$ en su formulación de la prueba).
valoraciones y comentarios
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