Solución:
La idea es correcta, pero creo que no está bien argumentada. Sin embargo, es principalmente un problema de notación, además de una debilidad que subrayaré más adelante.
Seguiría la pista, es decir, demostrando primero que el espacio tiene una base contable.
Para todos los enteros $ n> 0 $, la cubierta abierta $ {N_ {1 / n} (p): p in K } $ tiene una subcubierta finita; sea $ X_n = {x_ {n, 1}, x_ {n, 2}, dots, x_ {n, m (n)} } $ tal que $$ K = bigcup_ {i = 1} ^ {m (n)} N_ {1 / n} (x_ {n, i}) $$ Afirmo que el conjunto $$ mathcal {B} = bigcup_ {n> 0} bigl {N_ {1 / n} (x_ {n, i}): 1 le i le m (n) bigr } $$ es una base contable para $ K $. La contabilización es obvia. Sea $ p en K $ y $ varepsilon> 0 $; queremos demostrar que existen $ n> 0 $ y $ i $ con $ 1 le i le m (n) $ tales que $ N_ {1 / n} (x_ {n, i}) subseteq N_ varepsilon (p) $.
Tome $ n $ tal que $ 1 / n < varepsilon / 2 $. Entonces $ p in N_ {1 / n} (x_ {n, i}) $, por unos $ 1 le i le m (n) $. Si $ q in N_ {1 / n} (x_ {n, i}) $, entonces $$ d (p, q) le d (p, x_ {n, i}) + d (x_ {n, i}, q) < frac {1} {n} + frac {1} {n} < varepsilon $$ entonces $ N_ {1 / n} (x_ {n, i}) subseteq N_ varepsilon ( p) $ (este es un punto en el que su prueba es débil).
Ahora cada el espacio métrico que tiene una base contable es separable. Basta tomar un punto en cada miembro (no vacío) de la base y este es un subconjunto denso, porque cada conjunto abierto es la unión de miembros de la base, por lo que interseca este subconjunto contable.
$ X_n = {x_ {1_n}, x_ {2_n}, x_ {3_n}, … x_ {j_n} } subconjunto K $
Esto debería decir algo como $ X_n = {x_ {1, n}, dots, x_ {j_n, n} } $. Escribir $ 1_n $ y $ 2_n $ y así sucesivamente no tiene sentido. Ponemos subíndices en variables, no números.
Este bit no tiene sentido:
Como las opciones para $ p en K $ y $ varepsilon $ eran arbitrarias, cualquier vecindario alrededor de cada punto en $ K $ debe intersecar un subconjunto contable $ X $.
¿Qué es $ X $? ¿Depende de $ p $? en $ varepsilon $? Tal vez quieras decir que $ X = bigcup_ {n ge 1} X_n $ pero luego has definido $ n $ basado en $ varepsilon $ cuando no deberías haberlo hecho.
También parece confundir “base contable” con “conjunto denso contable” cuando se trata de cosas diferentes. Una base contable es una colección contable $ B $ de conjuntos abiertos, de modo que cada conjunto abierto se puede escribir como una unión de conjuntos en $ B $. Por ejemplo, $ B = {(a, b): a
Lo que tendrás son conjuntos $ X_n = {x_ {1, n}, dots, x_ {j_n, n} } $ tales que $$ K = bigcup_ {i = 1} ^ {j_n} N_ {1 / n} (x_ {i, n}). $$ Entonces $$ B = {N_ {1 / n} (x_ {i, n}): n in mathbf {N}, 1 le i le j_n } $$ es una base contable y $ $ X = {x_ {i, n}: n in mathbf {N}, 1 le i le j_n } $$ es un conjunto denso contable.