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Solución:
Si no desea utilizar el teorema de Heine-Borel para espacios métricos (como se sugiere en la respuesta de Igor Rivin), aquí hay otra forma de demostrar que un espacio métrico compacto está completo:
Nótese que en los espacios métricos coinciden las nociones de compacidad y compacidad secuencial. Sea $x_n$ una sucesión de Cauchy en el espacio métrico $X$. Dado que $X$ es secuencialmente compacto, existe una subsecuencia convergente $x_n_kto x in X$.
Todo lo que ahora queda por demostrar es que $x_n to x$. Como $x_n_kto x$ hay $N_1$ con $n_k ge N_1$ implica $|x_n_k-x| Entonces $n>N=max(N_1,N_2)$ implica $$ |x_n-x|le |x_n-x_N|+|x_N-x| Por lo tanto, $X$ está completo. Dejar $langle F_nrangle_ninBbbN$ ser una secuencia descendente de conjuntos cerrados no vacíos satisface que $nombre del operadordiam F_nto 0$ como $ntoinfty$. Puedes comprobar fácilmente que si $m_1 entonces Aquí hay una manera no tan elegante: Sea $a_n$ una secuencia de Cauchy. Si el conjunto de valores en la (imagen de la) sucesión es finito, utilice el criterio de Cauchy para mostrar que la sucesión finalmente es constante (y, por lo tanto, converge). Si el conjunto de valores de la sucesión es infinito, utilice la compacidad para finitar un punto límite de este conjunto. Use este punto límite para construir una subsecuencia convergente de la secuencia original. Luego use el criterio de Cauchy para mostrar que la secuencia original converge al mismo límite que la subsecuencia. Tienes la posibilidad comunicar este escrito si si solucionó tu problema.
$$ F_m_1cap F_m_2capcdotscap F_m_k =F_m_kneq varnada $$
asi que $langle F_nrangle_ninBbbN$ satisface la propiedad de intersección finita. Ya que $(X,d)$ es un espacio métrico compacto, $bigcap_ninBbbN F_n$ no está vacío. Ya que
$$ operatornamediam bigcap_ninBbbN F_n le operatornamediam F_mto 0qquad textas > mtoinfty $$
asi que $bigcap_ninBbbN F_n$ contiene como máximo un punto. Asi que $bigcap_ninBbbN F_n$ es singleton.Utiliza Nuestro Buscador