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Solución:
Suponga que $X$ está equipado con la topología cofinita y que $x,y$ son elementos distintos.
Si es Hausdorff entonces deben existir conjuntos abiertos $U,V$ con $xin U$, $yin V$ y $Ucap V=emptyset$.
Entonces $Usubseteq V^c$ nos dice que $U$ es finito y en consecuencia $X=Ucup U^c$ es finito.
Sin embargo, la línea real es no finito, entonces…
Esto no es true para $mathbbR$ o cualquier otro espacio infinito $X$ con la topología de complemento finito (cofinito).
Normalmente, si quisiera probar que $X$ no es Hausdorff, solo necesitaría probar que existe un par específico de $p_1$ y $p_2$ donde los dos puntos no pueden ser separados por conjuntos abiertos disjuntos alrededor de cada uno. Sin embargo, en este caso, si $X$ es infinito, no puede hacer esto por ninguna $p_1$ y $p_2$ par.
Si tuviera $p_1$ y $p_2$ puntos en $X$ y $U$ cualquier vecindario de $p_1$, no hay vecindario de $p_2$ en $X backslash U$ porque $X backslash U$ es finito (y por lo tanto no podría contener ningún vecindario cofinito para que nosotros coloquemos alrededor de $p_2$).
El símbolo $barra invertida$ para mí significa complemento, es decir, $X barra invertida U=Xcap U^c$ que (ya que $X$ es el espacio completo) es $U^c$.
De hecho, ignorando $p_1$ y $p_2$, es imposible tener dos conjuntos abiertos disjuntos no vacíos $U_1$ y $U_2$ (en virtud de ser abiertos y disjuntos, cada uno parece insistir en que el otro es finito) .
Esta topología cofinita es buena, como ejemplo, porque es un espacio de Fréchet (también conocido como T1, donde Hausdorff es T2). Para ser T1, debe satisfacer la condición más débil: por cada $p_1$ y $p_2$ en $X$, hay una vecindad de $p_1$ que no contiene a $p_2$ y una vecindad de $p_2$ que no contiene a $p_1$ .
Tenga en cuenta que la diferencia entre esto y Hausdorff es que $U_1$ y $U_2$ no tienen que ser disjuntos, siempre que no contengan ambos puntos.
Dados los puntos $p_1$ y $p_2$, puedes tomar $U_1$ como $X backslash p_2$ y lo mismo para $U_2$. Claramente, $U_1$ es cofinito y no contiene $p_2$ (¡después de todo, su complemento es solo $p_2$!). Igualmente por $U_2$.
Pero, por supuesto, $U_1$ y $U_2$ tienen una superposición significativa.
Si conservas algún reparo y disposición de perfeccionar nuestro crónica te recordamos escribir una crónica y con placer lo analizaremos.