Viviana, miembro de nuestro staff, nos ha hecho el favor de redactar este artículo ya que controla muy bien el tema.
Solución:
La topología discreta tiene una estructura topológica que revela perfectamente la naturaleza discreta del conjunto de puntos subyacente.
Puede considerar un conjunto como una colección discreta de objetos. A un conjunto dado $X$, puede asignar una variedad de topologías. Argumentemos a favor de la idoneidad de llamar a esta topología particular “discreta”.
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La topología discreta es la mejor topología, no se puede subdividir más. Si piensa en los elementos del conjunto como átomos “discretos” indivisibles, cada uno aparece como un conjunto único. Puede “ver” efectivamente los puntos individuales en la topología misma.
Contraste esto con el indiscreto topología, que consta únicamente de $X$ y $varnothing$. Esta topología oscurece todo acerca de cuántos puntos había en el conjunto original. Aglomera totalmente los puntos del conjunto entre sí.
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Volviendo a este punto, a veces es útil pensar en las topologías como algo que oscurece o difumina los puntos subyacentes del conjunto. Las topologías tienen que ver con las relaciones de proximidad: los puntos en un conjunto abierto están cerca unos de otros. Si hay dos puntos que nunca aparecen solos en un conjunto abierto, esos puntos son topológicamente indistinguible. Desde la perspectiva de la topología, están tan cerca que son idénticos.
Por tanto, es notable que la topología discreta no tiene puntos indistinguibles. La topología discreta es la topología que no oscurece nada sobre el conjunto subyacente. Cada punto del conjunto está claramente resaltado, distinguible y recuperable como un conjunto único abierto en la topología.
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Si piensa en las topologías que pueden surgir de métrica, la topología discreta surge de métricas como $d(x,y) = begincases0 & x=y\1&xneq yendcases$. Esta métrica “destroza” los puntos $X$, aislando cada uno dentro de su propia bola unitaria. En tal espacio, las únicas sucesiones convergentes son las que eventualmente son constantes; no puede encontrar puntos arbitrariamente cerca de ningún otro punto. Debido a que los puntos están aislados de esta manera, tiene sentido llamar al espacio “discreto”.
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Cada función de un espacio discreto es automáticamente continua. Yo diría que por esta razón, la topología discreta es la que mejor “representa” $X$ en el espacio topológico. De hecho, en muchos sentidos, la naturaleza de un conjunto se caracteriza por sus funciones, y la naturaleza de un espacio topológico se caracteriza por sus funciones continuas.
Entonces, tenga en cuenta que si $T$ es cualquier espacio topológico, existe una correspondencia biyectiva natural entre las funciones $f:Xrightarrow mathsfset(T)$ y los morfismos continuos $g:mathsfdiscreta(X) flecha derecha T$. Para cada función en $X$, puedes encontrar una función continua en $mathsfdiscreta(X)$, y dada cualquier función continua en $mathsfdiscreto(X)$, puede recuperar de forma única una función en $X$.
La topología discreta representa mejor la estructura del conjunto $X$ que, como dices, se discretiza en puntos individuales.
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A lo largo del álgebra abstracta, los isomorfismos describen qué estructuras son “iguales”. Un isomorfismo topológico (un homeomorfismo) entre dos topologías dice que son esencialmente la misma topología. Un isomorfismo de conjuntos es solo una biyección; dice que los conjuntos contienen el mismo número de elementos.
Continuando con la discusión de funciones anterior, dos topologías discretas son topológicamente isomorfos (homeomorfos) si y solo si sus conjuntos subyacentes son isomorfos como conjuntos (biyectivos). Dicho de manera casual, esto significa que el proceso de creación de topologías discretas mantiene la similitud y las diferencias entre los conjuntos subyacentes: las topologías discretas son iguales si y solo si sus conjuntos subyacentes lo son.
Esto es tanto más importante cuando nos damos cuenta de que los conjuntos son iguales cuando tienen el mismo número de puntos. Por lo tanto, las topologías discretas son las mismas cuando (y solo cuando) sus conjuntos subyacentes tienen “puntos discretos” en la misma cantidad. Puede contar los puntos en una topología discreta a través de isomorfismos, y la topología discreta es la única topología en la que esto es posible.
Discretos en este sentido significa separados por una distancia significativa. En la topología habitual de los reales, todo conjunto abierto contiene muchos (incontables muchos) puntos. En la topología discreta, cada punto es un conjunto abierto, por lo que es como los números enteros en la recta numérica: cada punto está muy lejos de los demás puntos. Una vez que haga eso, cada subconjunto del espacio es un conjunto abierto, por lo que la topología está determinada hasta el isomorfismo por el hecho de que es discreto y el número de puntos en el conjunto. Por eso hablamos de “la topología discreta” en un conjunto.
Existe una semejanza entre el conjunto de enteros que llamamos discreto y la topología discreta.
Cada punto está cerrado y cada punto está abierto en topología discreta. Se llama discreto porque cada punto es un componente en sí mismo. cada punto es una vecindad abierta de sí mismo.
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