Solución:
El problema parece ser que tienes tus cuantificadores al revés. No es que haya un solo $ q en E $ tal que $ d (p, q)
$$ existe q en E setminus {p } ; forall r> 0 (d (p, q)
Para un ejemplo simple, sea $$ E = left { frac1n: n in mathbb {Z} ^ + right } ;, $$ y sea $ p = 0 $. Para $ r = 0.1 $, puede tomar por $ q $ cualquier $ 1 / n $ con $ n> 10 $. Con $ r = 0.01 $, por otro lado, deberá elegir $ 1 / n $ con $ n> 100 $. Etcétera.
También diría que tu imagen está al revés: deberías pensar en círculos de decreciente radio acercándose cada vez más a $ p $. Entonces $ p $ es un punto límite de $ E $ si dentro de cada uno de esos círculos, sin importar cuán cerca de $ p $, hay al menos un punto de $ E $ diferente de $ p $ en sí.
Adicional:
Ahora echemos un vistazo a sus tres ‘operaciones generales’.
$$ d (r_ {n}, r_ {n-1}) a 0 $$
Si eliges una secuencia $ langle r_n: n in mathbb {N} rangle $ convergiendo a $ 0 $, automáticamente ocurrirá que $ d (r_ {n}, r_ {n-1}) a 0 $ como $ n a infty $, pero este es un efecto secundario, no algo en lo que deba centrarse. Lo importante es que $ r_n to 0 $ as $ n to infty $; si ese es el caso, y si por cada $ n in mathbb {N} $ tienes un $ q_n en E $ tal que $ q_n ne p $ y $ d (p, q_n)
$$ forall r in mathbb {R} existe q in E big (d (p, q_ {n})
Como está escrito, esto no tiene sentido: ¿cómo se relacionan los únicos $ r $ y $ q $ en los cuantificadores con $ r_n $ y $ q_n $ en la declaración cuantificada? Puede escribir correctamente cualquiera de los siguientes, ya que todos dicen que $ p $ es un punto límite de $ E $:
$$ begin {align *} & forall r> 0 existe q (r) in E big (q (r) ne p text {y} d (p, q (r))
De hecho, si $ langle r_n: n in mathbb {N} rangle $ es alguna secuencia de números reales positivos que convergen a $ 0 $, podría tomar
$$ forall n in mathbb {N} existe q_n in E big (q (r) ne p text {y} d (p, q_n) ya que su definición de ‘$ p $ es un punto límite de $ E $’. $$ d (p, q_ {1}) a 0 $$ Tal como está escrito, esto no tiene sentido, ya que $ p $ y $ q_1 $ son puntos fijos únicos: aquí no hay secuencia. ¿Quiso decir $ d (p, q_n) a 0 $? Eso no es suficiente tal como está, porque no dice nada sobre la naturaleza de $ q_n $. Lo que funciona es esto: Un punto $ p $ es un punto límite de un conjunto $ E $ si y solo si hay una secuencia $ langle q_n: n in mathbb {N} rangle $ de puntos de $ E setminus {p } $ tal que $ d (p, q_n) a 0 $ como $ n a infty $. (Esto, por supuesto, supone que hay una métrica $ d $; esta definición no funciona para espacios topológicos en general).