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Solución:
Sea $ F $ una familia de funciones desde un conjunto $ X $ hasta un espacio $ Y $. $ F $ podría, por ejemplo, ser el conjunto de todas las funciones desde $ X $ a $ Y $, o podría ser el conjunto de todas las funciones continuas desde $ X $ a $ Y $, si $ X $ es un espacio topológico . Cada $ f: X a Y $ puede considerarse como un punto en el producto cartesiano $ Y ^ $. Para ver esto, para cada $ x en X $, sea $ Y_x $ una copia del espacio $ Y $. Entonces una función $ f: X a Y $ corresponde al punto en $ prod_ x en X Y_x $ cuya $ x $ -ésima coordenada es $ f (x) $, y por supuesto $ prod_ x in X Y_x $ es solo el producto de $ | X | $ copias de $ Y $, es decir, $ Y ^ X $.
El producto $ Y ^ $ es un espacio topológico con la topología del producto; $ F subseteq Y ^ $, entonces $ F $ hereda una topología de la topología del producto en $ Y ^ $. Esta topología heredada es la topología de convergencia puntual en $ F $.
Se puede mostrar fácilmente que una secuencia $ langle f_n: n in Bbb N rangle $ en $ F $ converge a algunos $ f en F $ en esta topología si y solo si para cada $ x en X $ , $ langle f_n (x): n in Bbb N rangle $ converge a $ f (x) $ en $ Y $. (De manera más general, un $ langle f_d: d en D rangle $ en $ F $ converge a unos $ f en F $ si y solo si para cada $ x en X $ el $ langle f_d ( x): x in D rangle $ converge a $ f (x) $ en $ Y $. Esta es la razón por la puntual en el nombre.
Muy a menudo $ Y $ es $ Bbb R ^ n $ o $ Bbb C ^ n $ para unos $ n $, y $ X $ es un espacio topológico. La estructura topológica de $ X $ no influye en la topología de la convergencia puntual, aunque puede ayudar a determinar el conjunto $ F $ de funciones en consideración (por ejemplo, las continuas).
De Munkres ‘ Topología, segunda edición, $ S $ 46:
Definición. Dado un punto $ x $ del conjunto $ X $ y un conjunto abierto $ U $ del espacio $ Y $, sea $$ S (x, U) = f mid f in Y ^ X hbox y f (x) in U . $$ Los conjuntos $ S (x, U) $ son una subbase para a topología en $ Y ^ X $, que se llama topolgoy de convergencia puntual (o la topología de punto abierto).
La topología de la convergencia puntual es una topología en un espacio funcional. Sea $ Z = Y ^ X $ el espacio de funciones desde $ X $ a $ Y $. Entonces una secuencia $ (f_i) _ i in mathbb N $ converge a una función $ f $ si para todo $ x en X $, la secuencia $ (f_i (x)) $ converge a $ f (x PS
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