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Solución:
Tienes la idea. Dejar $F_n(t,omega):=frac 1nsum_j=1^nchi_(-infty,t](X_k(omega))$dónde $X_j$ son variables aleatorias independientes de ley $mu$. Por el teorema de Glivenko-Cantelli, también conocido como teorema fundamental de la estadística, sabemos que para casi todos $omegaenOmega$tenemos
$$sup_tinmathbb R|F_n(t,omega)-F(t)|to 0.$$
arreglar uno de estos $omega$y deja $mu_n$ la medida de probabilidad asociada con la función de distribución acumulativa $F_n(t)=F_n(t,omega)$. Ya que $F_n(t)a F(t)$ en todos los puntos de continuidad de $F$tenemos eso $mu_na mu$ enclenque. Ya que $mu$ es compatible con el conjunto finito $X_1(omega),ldots,X_n(omega)$hemos terminado.
Tenga en cuenta que el resultado que usamos tal vez no sea la forma más simple, y que la convergencia puntual no es suficiente para concluir (ya que casi en todas partes depende de $t$).
Lo siento si esto no es exactamente una respuesta a su pregunta original. Pero me pica un poco cuando veo el camino alguno los probabilistas tratan la convergencia débil de medidas…
El teorema de representación de Riesz establece que cuando $X$ es un Hausdorff localmente compacto, tenemos una isometría entre el dual de $C_0(X)$ y el espacio vectorial normado de medidas regulares finitas con signo en los conjuntos de Borel de $X$. La norma de una medida es su variación total. En este contexto, la convergencia débil de medidas es simplemente la convergencia débil-* en $C_0(X)$.
El Teorema de Banach-Alaoglu establece que la bola unitaria cerrada es compacta en la topología débil-*. Es muy fácil mostrar que el conjunto de medidas (positivas) tales que $0 leq mu(X) leq 1$ es un subconjunto cerrado (en la topología débil-*) de la bola unitaria, y por lo tanto también es compacto . Representemos el conjunto de esas medidas por $mathcalM$. Observe que si $X$ no es compacto, entonces el conjunto de medidas de probabilidad (en los conjuntos de Borel de $X$) no es compacto en la topología débil*. De hecho, si tomamos una secuencia $x_n in X$ “convergente a $infty$”, entonces $$ frac1n sum_j=1^n delta_x_n rightarrow 0. $$
Dado que $mathcalM$ es compacto y convexo, el teorema de Krein-Milman dice que $mathcalM$ es el cierre débil-* de la combinación convexa de puntos extremos de $mathcalM$. Los puntos extremos son puntos que no son una combinación convexa no trivial de otros puntos de $mathcalM$. Observe que estas son la medida $0$ y los deltas de Dirac $delta_x$. Por tanto, las combinaciones convexas de aquéllas son las medidas $mu_n$ con soporte finito. Ahora, solo queda demostrar que podemos usar $frac1mu_n(X) mu_n$ en lugar de $mu_n$, para concluir que cualquier medida de probabilidad es el límite débil* de las medidas de probabilidad con apoyo finito.
Me doy cuenta de que esto es bastante complicado. Pero en mi humilde opinión, los conceptos tomados del análisis funcional deben considerarse como tales. Por supuesto, esto es cuestión de gustos, pero la definición que usa $F_n(t)$ es demasiado artificial INCLUSO cuando se compara con la definición que usa la topología débil-* en $C_0(X)$.
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