Posteriormente a investigar con expertos en la materia, programadores de diversas ramas y maestros hemos dado con la solución a la interrogande y la dejamos plasmada en esta publicación.
Solución:
Mira esto como un juego entre dos personas (prácticamente, esto no puede suceder pero dejemos fluir nuestra imaginación). Cada juego es en realidad una “traducción” de la definición correspondiente.
Quiere probar una convergencia puntual. Hagamos un juego para ello.
- Paso 1. Elegiste unos $ x $ del dominio.
- Paso 2. El oponente elige unos $ epsilon> 0 $.
- Paso 3. Intenta encontrar un $ N in mathbb N $ tal, que $ forall n geq N $, $ | f_n (x) -f (x) | < epsilon $.
Reglas adicionales: Los pasos 2 y 3 deben repetirse hasta que tu oponente esté convencido de que para el $ x $ particular que recogiste, cualquier $ epsilon $ que te diga, podrás encontrar ese $ N $. Podrá seleccionar otros $ x $ del dominio, solo después de haber convencido a su oponente. Los juegos terminan cuando hayas hecho esto para todos los $ x $ en el dominio.
Como ya habrás notado, existe una correspondencia precisa entre la definición y el juego. Paso 1 corresponde a vincular la variable $ x $. Cuando $ x $ toma un valor, este valor se vuelve fijo, por lo que podemos variar por encima de $ epsilon $, que corresponde a Paso 2. Después de elegir un valor para $ epsilon $, este valor permanece fijo. En Paso 3 encuentra el $ N $ adecuado dentro del contexto de valores ya elegidos para $ x $ y $ epsilon $. Por eso, en la convergencia puntual $ N $ depende tanto de $ x $ como de $ epsilon $.
Ahora, quiere probar una convergencia uniforme. El juego aquí cambia.
- Paso 1. Tu oponente elige un $ epsilon> 0 $.
- Paso 2. Intenta encontrar un $ N $ tal que $ forall n geq N $, $ | f_n (x) -f (x) | < epsilon, forall x $.
La diferencia aquí es que no verifica cada $ x $ por separado. Por el contrario, tu oponente te da un $ epsilon $ y el $ N $ que tienes que encontrar se refiere a todos los $ x $ en el dominio, no solo a uno que hayas recogido. Es como considerar el rango de $ x $ de una vez. El juego termina cuando tu oponente está convencido de que encontrarás un $ N $, lo que sea que te diga $ epsilon $.
Veamos un ejemplo. Considere la secuencia de funciones $$ f_n (x) = begin cases | x | -n & text if x in (- infty, -n) cup (n, infty) \ 0 & text if x in [-n,n]. end cases $$
Grafica estas funciones. Sin pensar en las definiciones que tiene de los diferentes tipos de convergencia, ¿cree que $ f_n $ converge a alguna otra función? Si dijiste “sí”, ¿cuál es su límite? $ f (x) = 0 $? Pero para cada $ M geq 0 $, observe que, para cada $ n $, puedo encontrar un $ x in mathbb R $ para el cual $ | f_n (x) – f (x) | > M $. (¿Ves un $ x $ que funciona? Prueba $ x = 2M + n $.) ¿No parece un poco extraño si $ f_n $ converge a $ f $? De hecho, esto significa que puedo definir una secuencia $ x_n $ de números reales tal que $ | f_n (x_n) – f (x)> M $ para todos los $ n $, y por lo tanto $ lim_ n a infty f_n (x_n) neq f (x) $ (si este límite existe). (Peor aún, puede elegir $ x_n $ de tal manera que $ lim_ n to infty f (x_n) = infty $. Dejaré esto en sus manos).
Observe que $ f_n af $ puntual. (Demuestre esto).
Si podemos estar de acuerdo en que este es un comportamiento indeseable para secuencias convergentes de funciones, entonces ya conoce una de las muchas razones por las que necesitamos una definición más sólida de convergencia $ f_n af $: la convergencia puntual es una propiedad demasiado débil para ser útil al discutir muchas propiedades de las secuencias de funciones.
Aquí es donde entra en juego la convergencia uniforme. ¿Puedes ver que $ f_n $ hace no convergen a $ f $ uniformemente? (Intente probar esto a partir de la definición). Intuitivamente, la convergencia uniforme codifica la idea de que toda la función $ f_n $ converge a $ f $ al mismo tiempo (o la misma tasa), no solo que $ f_n (x) $ se mueve hacia $ f (x) $ eventualmente en cada punto $ x $. Es un global propiedad de las funciones $ f_n $ y $ f $ (es decir, una declaración sobre $ f_n $ que involucra el comportamiento de $ f_n $ en todo su dominio a la vez), no un local propiedad como convergencia por parteses decir, una propiedad sobre $ f_n $ que es equivalente a declaraciones que individualmente solo toman en cuenta pequeñas porciones del dominio de $ f_n $ (en este caso, puntos individuales)). De hecho, un buen ejercicio para usted sería mostrar que si $ f_n, f: mathbb R to mathbb C $ por cada $ n $, entonces $ f_n af $ uniformemente si y solo si $ | f_n – f | _ infty a 0 $ como $ n a infty $, donde $ | cdot | _ infty $ es el sup-norma definido para $ g: D to mathbb C $ por
$$ | g | _ infty = sup_ x in D | g (x) | $$
Para $ f_n $ y $ f $ como en el ejemplo anterior, puede, de hecho, mostrar que $ | f_n – f | _ infty = infty $ para todos los $ n $ (vea el paréntesis aproximadamente $ lim_ n to infty f (x_n) $ arriba), lo que le brinda una segunda forma de demostrar que $ f_n $ no converge uniformemente a $ f $.
Ojalá esto aclare algunos conceptos. Recomiendo encarecidamente probar diferentes ejemplos (tanto de un libro de texto como de los que usted mismo construye). Convenientemente, los buenos ejercicios no son tan terribles como para idearlos por su cuenta para este concepto; siempre que sepa $ f_n af $ puntualmente, siempre puede preguntar si $ f_n af $ de manera uniforme también.
Entiendo por qué lo encuentra confuso. Intentaré aclararlo como yo lo veo:
Me gusta acercarme a las definiciones preguntando: ¿Por qué se pensaron en ellas?
En este escenario, tenemos 2 definiciones muy similares por lo que es difícil visualizar la diferencia entre ellas.
Me gusta pensar en la Convergencia Uniforme como la que vino primero, ya que es la más intuitiva de las dos. En términos simples, todo lo que significa es que $ f_n (x) $ converge a $ f (x) $ solo aumentando $ n $.
Un ejemplo simple en el que es fácil ver intuitivamente las convergencias uniformes es $ f_n (x) = sqrt x ^ 2 + frac 1 n to sqrt x ^ 2 $.
¿Por qué necesitamos la convergencia puntual? Porque a veces estas definiciones se rompen y no funcionan:
Por ejemplo: Sea $ D = (0,1) $ y $ f_n (x) = x ^ n $. Al principio, parece que $ f_n (x) $ converge uniformemente a $ 0 $. Pero tras una inspección más cercana, notamos que si $ x (n) = frac 1 sqrt[n]3 underset n to infty longrightarrow 1 $ entonces $ f_n (x) $ no converge a $ 0 $. En otras palabras, tenemos que limitarnos a $ x $ s de manera que exista un $ N $ donde para $ n> N $ converja (en otras palabras, $ N $ también es una función de $ x $).
Observe cómo la convergencia uniforme se rompió en el caso de borde de $ x (n) a 1 $. Este es el tema común de los problemas de convergencia de Pointwise y es la razón por la que (en mi opinión) tenemos esta definición.
En resumen: la convergencia uniforme es la definición intuitiva. La convergencia puntual se definió para manejar los casos especiales en los que la convergencia uniforme no funciona.
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