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Solución:
Hay contraejemplos fáciles a la declaración, que otros ya han proporcionado.
Pero déjame decirte qué error creo que estás cometiendo. El teorema de Dini tiene mucha letra pequeña: en particular, requiere que la función límite puntual sea continua. Puede ver que esta hipótesis no se cumple en los contraejemplos anteriores. Por el contrario, si cada $f_n$ y también $sum_n=0^infty |f_n(x)|$ fueran continuos, entonces podrías aplicar el Teorema de Dini para ver que la convergencia de $sum_n |f_n (x)|$ es uniforme, de lo que se sigue que la convergencia de $sum_n f_n(x)$ es uniforme, digamos a través del criterio de Cauchy.
Tienes mis simpatías por olvidar esta hipótesis del Test de Dini. Todavía tengo un conjunto de notas de clase en mi página web donde declaro incorrectamente la prueba de Dini (¡no puedo encontrar el archivo tex para cambiarlo!), y cuando lo mencioné en un segundo curso más recientemente, me abrí paso el enunciado y la prueba (!) sin hacer explícita la necesidad de continuidad de la función límite. Finalmente lo hice bien: ver por ejemplo $S III.1.4$ de estas notas.
El ejemplo dado por Davide Giraudo funciona bien. De hecho, para $x neq 1$ tenemos $$sum_n=0^infty x^n(1-x) = sum_n=0^infty x^n – sum_n= 1^infty x^n = 1,$$ pero para $x = 1$ la serie es $0$. Si la convergencia fuera uniforme, la función resultante sería continua, lo cual no lo es.
Sin embargo, hay un resultado llamado prueba M de Weierstrass. Dice que si cada una de las funciones $f_n$ está acotada, es decir, $sup_x in [0,1] |f_n(x)| le M_n$ para alguna constante $M_n > 0$, y si $sum_n=0^infty M_n < infty$, entonces la convergencia es uniforme. (Aqui he sacado $[0,1]$ como el dominio de las funciones. Puede reemplazar esto por cualquier conjunto).
En vista de la referencia a Dini uno podría preguntarse, ¿y si todas las $f_n$ y $f$ son funciones continuas en un conjunto compacto $K$? Por lo tanto, si todo $f_n ge 0$, Dini diría que la convergencia es uniforme en $K$. Pero sin esa hipótesis no es true. Considere $K=[0,1]$ donde
$f_2n-1$ es la interpolación lineal por partes de $f_2n-1(0) = 0$, $f_2n-1(1/(2n)) = 1$, $f_ 2n-1(1/n) = 0$, $f_2n-1(1) = 0$, mientras que $f_2n(x) = – f_2n-1(x)$. Entonces $sum_n=1^infty f_n(x)$ converge absolutamente a $f(x) = 0$ pero las sumas parciales impares tienen un valor máximo de 1.
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