Solución:
Para apreciar la topología de Zariski, es útil tener una visión bastante amplia de lo que es un espacio topológico. Los espacios topológicos en total generalidad son, confusamente, ¡no muy topológicos en el sentido ingenuo! Como se discutió en esta pregunta de math.SE, creo que es mejor pensar en la topología de conjuntos de puntos como si se tratara de propiedades semidecidibles (que son los conjuntos abiertos). El tipo familiar de topología inducida por una métrica tiene que ver con la propiedad específica de estar cerca en un sentido métrico, pero otros tipos de topologías se refieren a diferentes tipos de propiedades.
La topología de Zariski trata sobre la propiedad de no desaparecer de los polinomios. Las propiedades semidecidibles aquí son las propiedades “este conjunto de polinomios no desaparece aquí”. Hablando intuitivamente, la razón por la que esto es semidecidable es que puede calcular el valor de un polinomio en un punto con precisión finita y una vez que demuestre que es lo suficientemente diferente de cero, no puede ser cero.
El hecho de que la topología de Zariski no sea de Hausdorff no es una propiedad extraña de la topología de Zariski; le dice algo importante sobre cómo se comporta la desaparición de polinomios, es decir, que el comportamiento de un polinomio en unos pocos puntos puede decirle mucho sobre su comportamiento en puntos aparentemente lejanos. Esto es intrínseco a la naturaleza de la geometría algebraica y pretender que la topología de Zariski no existe no hará que desaparezca.
Bien, entonces, ¿qué puedes hacer realmente con él? Aquí hay un par de cosas:
- Si dos polinomios concuerdan en un subconjunto denso de Zariski, entonces concuerdan de manera idéntica. Esta es una forma sorprendentemente útil de probar identidades polinómicas; por ejemplo, se puede usar para probar el teorema de Cayley-Hamilton.
- Pasar a la topología de Zariski en esquemas permite el uso de puntos genéricos. Sin embargo, no estoy familiarizado con ejemplos de esta técnica en uso.
- Serre hizo uso famoso de la topología de Zariski para introducir la cohomología de gavillas a la geometría algebraica, que fue (según tengo entendido) una innovación crucial.
Para De Verdad Apreciar la topología de Zariski ayuda a generalizarla a anillos conmutativos arbitrarios. Un ejemplo motivacional importante: si $ X $ es un espacio compacto de Hausdorff y $ C (X) $ es el anillo de funciones continuas $ X to mathbb R $, entonces el espectro máximo de $ C (X) $ no solo se puede identificar con $ X $, pero tiene la misma topología! (Este es un ejercicio de Atiyah-MacDonald).
Los anillos que se obtienen de esta manera son precisamente las subálgebras reales de C * -álgebras conmutativas complejas por el teorema conmutativo de Gelfand-Naimark, y de hecho se obtiene una equivalencia (contravariante) de categorías. Además, según el teorema de Serre-Swan, la categoría de paquetes de vectores reales en $ X $ es naturalmente equivalente a la categoría de módulos proyectivos generados finitamente sobre $ C (X) $.
Ayuda pensar en este ejemplo como un físico. Piense en $ X $ como el conjunto de posibles estados de algún sistema físico y los elementos de $ C (X) $ como observaciones que se pueden hacer sobre el sistema; el valor de una función en un punto es el resultado de la observación en un estado fijo. La topología de Zariski aquí captura todas las propiedades semidecidibles que puede decidir usando las observaciones en $ C (X) $. Por ejemplo, si una de las funciones en $ C (X) $ se llama “temperatura”, existe una propiedad semidecidable correspondiente “la temperatura del sistema está entre $ 0 $ y $ 100 $ grados inclusive”, que puede decidir calculando la temperatura con precisión finita.
(¿Qué pasa si $ X $ no es compacto? Entonces, si trabaja con el anillo $ C_b (X) $ de funciones continuas acotadas en $ X $, existen conjuntos consistentes de valores posibles de los observables que no surgen de un estado real de su sistema; en su lugar, son puntos en la compactación Stone-Čech $ beta X $.)
Aquí hay otro ejemplo que me gusta: sea $ B $ un anillo booleano, que es un anillo que satisface $ b ^ 2 = b $ para todos los $ b en B $. Entonces, cada elemento de $ B $ puede identificarse con un subconjunto de su espectro máximo. Esta idea se puede utilizar para
- probar el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole,
- deducir la existencia de ultrafiltros de la existencia de ideales máximos en anillos, y
- probar el teorema de la compacidad en lógica proposicional (sin probar el teorema de completitud)!
Para una discusión, vea la publicación de mi blog. Anillos booleanos, ultrafiltros y teorema de representación de Stone.
Solo me gustaría mencionar una característica agradable de la topología de Zariski que, que yo sepa, nunca se aborda en los libros de geometría algebraica (¿contraejemplo alguien?)
La topología de Zariski nunca es de Hausdorff en dimensión positiva, pero aparte de eso es normal ($ = T_4 $) en el caso afín.
Esto significa que para una variedad afín (o un esquema afín) $ X $, dados dos subconjuntos cerrados disjuntos $ C, D subconjunto X $ existe una función regular $ f in mathcal O (X) $ con $ f ( c) = 1 $ para todos los $ c en C $ y $ f (d) = 0 $ para todos los $ d en D $.
Más asombrosamente aún, puedes incluso tomar funciones regulares arbitrarias $ g in mathcal O (C), h in mathcal O (D) $ e interpolarlas a un $ f in mathcal O (X) $ tal que $ f mid C = g $ y $ f mid D = h $
Esto se debe al hecho de que en geometría algebraica se definen las funciones primero, los polinomios (o uno de sus anillos de cociente), y luego se deduce de ellos una topología.
En la topología clásica (como en cálculo o análisis) primero define el espacio topológico (a través de una métrica, por ejemplo) y luego investiga las funciones continuas en estos espacios.
Y entonces puede suceder (en contraste con la geometría algebraica) que no tenga suficientes funciones para separar subconjuntos cerrados disjuntos entre sí.
Editar
En la misma línea (de manera equivalente, en realidad) déjeme mencionar que las variedades algebraicas afines (o esquemas afines) satisfacen la propiedad de Urysohn: cada función regular en el $ C subconjunto X $ cerrado se extiende a una función regular en $ X $.
En el lenguaje de los esquemas, es una absoluta trivialidad que, para $ C = V (I) $, el morfismo $ mathcal O (X) = A to mathcal O (C) = A / I $ ¡es sobreyectiva!
Y es una trivialidad porque está integrado en los cimientos de la geometría algebraica: la topología de Zariski está construida a partir de las funciones (y el genio de Grothendieck fue forzar cada elemento de alguna anillo conmutativo para ser una función!).
Me gustaría dar mi perspectiva personal, que creo que es una versión más elemental de la de Zhen Lin. Lo que he podido explicar por mí mismo es a) por qué es natural considerar la topología de Zariski cuando se habla de conjuntos que desaparecen, b) cómo la topología de Zariski en conjuntos de ideales primarios de un anillo $ R $ sugiere que los espacios anillados localmente son buenos objetos generales para consideraciones geométricas, c) por qué la topología de Zariski en el conjunto de todos ideales primos $ DeclareMathOperator Spec Spec Spec R $, nos da esquemas afines, yd) cuando está bien usar la topología de Zariski solo en el conjunto de ideales máximos $ DeclareMathOperator maxSpec maxSpec maxSpec R $ (entonces, en particular, por qué en un $ Bbbk $ algebraicamente cerrado podemos pensar en $ mathbb A ^ n_ Bbbk $ como $ n $ -tuplas $ (a_1, dots, a_n) $ de elementos de $ Bbbk $ identificado con los ideales máximos $ left
Conjuntos de fuga y topología de Zariski
Imagina que tenemos un anillo $ R $ y un conjunto (espacio) $ X $, de modo que pensamos en $ R $ como “funciones” en $ X $, en el sentido de que por cada $ x en X $ hay un conjunto $ R_x $ de “valores en X” tal que podamos pensar en $ x $ como una función de evaluación (sobreyectiva) $ x colon R a R_x $ dada por $ f af (x) $. Si intentamos axiomatizar las propiedades de la noción de “$ f en R $ se desvanece en $ x en X” $, llegamos a:
- $ f en R $ y $ g en R $ tienen el mismo valor en $ x $, si y solo si $ (fg) (x) $ desaparece en $ x $;
- Si $ f $ desaparece en $ x $, entonces $ (f cdot g) (x) $ también desaparece.
Estos son suficientes para asegurar que cada $ x colon R a R_x $ induzca una estructura de anillo en $ R_x $ tal que el conjunto de funciones $ f $ que desaparecen en $ x $ sea precisamente el $ ker x subconjunto ideal R $ . Requerir que la unidad constante (es decir, $ 1 $) no se desvanezca en ninguna parte asegura que los ideales sean adecuados, es decir, ninguno de $ R_x $ es el anillo cero trivial.
No es difícil demostrar que dado un conjunto de puntos en nuestro espacio $ S subconjunto X $, el conjunto de funciones en $ R $ que desaparecen en $ S $ es un $ I (S) $ ideal de $ R $, y en particular que es la intersección de los ideales $ ker x $ asociados a los puntos $ x en S $, es decir, $ I (S) = bigcap ker x colon x en S $. De manera similar, dado cualquier conjunto de funciones $ J subconjunto R $, el conjunto de puntos de fuga $ V (J) = x in X colon f (x) = 0 (x) forall f in J $ puede describirse como el conjunto de puntos $ x $ cuyo ideal asociado $ ker x $ contiene $ J $, es decir, $ V (J) = x in X colon J subset ker x $.
Dado que la idea de la geometría algebraica es establecer objetos geométricos como loci cero de funciones, es decir, como conjuntos que desaparecen, nos interesan las siguientes propiedades fáciles de verificar del operador $ V $:
- $ V (I) = V ( izquierda
) $, por lo que de ahora en adelante solo consideraremos los ideales de $ R $ como nuestros conjuntos de funciones $ I $, $ J $, etc. - $ V (0) = X $
- $ I subconjunto J $ implica $ V (J) subconjunto V (I) $
- $ V ( sum_ lambda I_ lambda) = bigcap_ lambda V (I_ lambda) $
- $ V (I) taza V (J) subconjunto V (I cap J) $
La última declaración NO es una igualdad en general. De hecho, si $ ker x $ no es un principal ideal, entonces dejando $ fg in ker x $, pero $ f, g not in ker x $, obtenemos que $ x not in V (f) cup V (g) $, pero $ x en V ((f) cap (g)) $. Esto es malo, ya que se mide que los conjuntos de fuga en este contexto general no están necesariamente cerrados bajo uniones finitas, lo que hace que sea extremadamente difícil descomponerlos de manera efectiva en piezas más pequeñas. Prácticamente la única forma de obtener una condición fácilmente verificable del cierre bajo uniones finitas es requerir que todos los ideales asociados $ ker x $ sean primos (de modo que $ R_x $ sean dominios integrales), en cuyo caso los conjuntos de fuga $ V (I) $ satisface los axiomas para conjuntos cerrados de una topología, que llamo topología de Zariski inducida por $ R $ sobre $ X $.
Tenga en cuenta que se puede pensar en $ X $ como un conjunto múltiple de ideales primos de $ R $.
Conjuntos de fuga y espacios anillados localmente
Queremos hacer más: queremos estudiar el haz de conjuntos que se desvanecen en $ X $. Por supuesto, esto no tiene sentido como lo he dicho, ya que las poleas se definen en relación con una topología (aproximadamente si algo es un fenómeno local, entonces es una gavilla), y no hemos especificado una topología en $ X $. Observe, sin embargo, que siendo un El conjunto cerrado en una topología es una propiedad local en esa topología, en el sentido de que si $ S $ está cerrado localmente en relación con cada $ U subconjunto X $ abierto, entonces $ S $ se cierra en $ X $. De ello se deduce que, según la topología de Zariski en $ X $ inducida por $ R $, los conjuntos que desaparecen son un haz.
Pero si los conjuntos que desaparecen son un haz, y cada conjunto que desaparece está dado por una “función” en $ R $ en $ X $, es mejor que hagamos “funciones” en $ X $ en un haz también. Básicamente, hay una forma razonable de hacer esto, que es restringiendo las funciones apropiadas en $ R $ para abrir subconjuntos $ U $.
Primero, una simplificación. Dado que cada conjunto de fuga se genera como la intersección de hipersuperficies (conjuntos de fuga de ” funciones ” individuales, ya que $ I = sum_ alpha (f_ alpha) $ tenemos que $ V (I) = bigcap _ alpha V (f_ alpha)) $, es completamente inútil tener ” funciones ” $ f en R $ que no se desvanezcan en ningún punto $ x $: proporcionan ideales extra que no dicen nada sobre los puntos de la espacio. Está claro que debemos exigir que cualquier $ f $ que no desaparezca en ninguna parte sea una unidad de $ R $, y para lograr esto podemos reemplazar $ R $ con su localización $ S ^ – 1 R $ en el sistema multiplicativo $ S = f in R colon f (x) neq0 forall x in X $ (el sistema es multiplicativo ya que $ R_x $ son dominios integrales). Esto deja los conjuntos que desaparecen exactamente igual, mientras que nos da un anillo un poco más simple para codificarlos (cuantos menos ideales, mejor).
Dicho esto, suponga que tenemos un conjunto abierto $ U subconjunto X $. Cualquiera que sea el anillo $ R_U $ que asociemos a $ U $, queremos que sus conjuntos de fuga sean conjuntos cerrados de $ U $. También deberíamos tener un mapa de restricción $ DeclareMathOperator res res res_ X, U colon R to R_U $ para decirnos cómo restringir ” funciones ” en $ X $ a ” funciones ” en $ U $. Este mapa debería ser un homomorfismo de anillo si tenemos algún sentido de decencia (además su inverso tiene que mapear el ideal de $ R_U $ que desaparece en $ S subconjunto U $ al ideal de $ R $ que desaparece en $ S subconjunto X $ ). Además, dada la convención anterior, si $ f in R $ no desaparece en ningún punto de $ U $, entonces debería enviarse a una unidad. Por tanto, $ R_U $ admitirá necesariamente un homomorfismo de la localización $ S ^ – 1 R $ donde $ S = {f in R colon f (x) neq0 (x) forall x in U PS Por lo tanto, podemos definir lo que yo llamo la ” estructura prehecha ” $ mathscr F_X $ por $ mathscr F_X (U) = S ^ – 1 R $ por $ S = f in R colon f (x) neq0 forall x in U $, y configurando $ res_ U, V $, el mapa de restricción de funciones en $ U $ a funciones en $ V $, para que sea la localización de $ R_U $ en $ S = f en R_U colon f (x) neq0 forall x in V $.
A key La propiedad de esta gavilla es que sus tallos son anillos locales y que codifican la desaparición. En particular, dado que $ f $ desaparece en un punto $ x $ si y solo si $ f in ker x $, entonces no es difícil ver que el tallo $ mathscr F_ X, x $ en $ x $ es la localización de $ R = mathscr F (X) $ en el ideal principal $ ker x $, y por lo tanto $ f $ desaparece en un punto $ x $ si y solo si $ x $ no es una unidad en el tallo $ mathscr F_ X, x $. En consecuencia, la sheaffification $ mathscr O_X $ de $ mathscr F_X $ es precisamente lo que yo llamo el ” haz de estructura ” de $ X $ (recuerde que $ X $ es un conjunto múltiple de ideales primos, no todos los ideales primos que es el contexto habitual para la estructura de la gavilla). Esta gavilla es bastante esquiva, pero tiene la propiedad de que $ (X, mathscr O_X) $ es un espacio anillado localmente (los tallos son anillos locales), y que los conjuntos que desaparecen se pueden extraer de los tallos $ mathscr O_ X, x $ diciendo que $ f in mathscr O_X (U) $ desaparece en un punto $ x $ si $ f $ se localiza en una no unidad en $ mathscr O_ X, x $. Por lo tanto, el estudio de los conjuntos que desaparecen se convierte en un caso especial del estudio de los espacios anillados localmente.
Affine Schemes: los espacios anillados localmente más básicos
¿Por qué la estructura sheaf $ mathscr O_X $ es esquiva (la de arriba para $ X $ un conjunto con un anillo $ R $ de “funciones”)? Debido a que $ mathscr O_X (U) $ no es necesariamente $ mathscr F_X (U) $, la localización de $ R $ en el conjunto de funciones que no desaparecen en ninguna parte en $ U $. De hecho, el anillo superior $ mathscr O_X (X) $ en sí mismo no es necesariamente $ R = mathscr F_X (X) $, lo que significa que es realmente difícil de calcular $ mathscr O_X $. En particular, el camino a los esquemas afines comienza con intentar calcular $ mathscr O_X $.
Una descripción fácil y explícita de $ mathscr O_X $ proviene de notar que si establecemos para cualquier $ f en R $ $ X_f = X setminus V_f $, entonces $ X_f $ son una base de conjuntos abiertos para $ X $ en la topología de Zariski desde $ X_ fg subset X_f cap X_g $ y $ bigcup_ alpha X_ f_ alpha = X setminus V ( sum (f_ alpha)) $.
Sabemos que $ mathscr F_X (X_f) = R_f $ donde $ R_f $ es la localización de $ R $ en $ R_f = S ^ – 1 R $ para $ S = g en R colon g ( x) neq0 forall x in V (f) $, o equivalentemente, en $ S = f, f ^ 2, dots $. Por lo tanto, la estructura sheaf $ mathscr O_X $ está completamente determinada por $ R_f $ de acuerdo con la regla $ mathscr O_X (U) = varprojlim_ X_f subset U R_f $. Esto sigue siendo muy difícil de calcular a menos que ocurra un cierto milagro, que es el siguiente: si $ V (f) subset V (J) $ implica $ J subset DeclareMathOperator rad rad f $, entonces el $ X_f $ satisfacen lo que Eisenbud y Harris llaman los axiomas $ mathscr B $ -sheaf, que implican que $ mathscr O_X (X_f) = mathscr F_X (X_f) = R_f $.
¿Por qué $ V (f) subset V (J) $ no siempre implica $ J subset rad J $ siempre? Bueno, ciertamente tenemos $ I (V (J)) subset I (V (f)) $, y $ J subset I (V (J)) = bigcap ker x colon J subset ker x $, pero $ I (V (f)) = bigcap ker x colon f subset ker x $ que podría ser estrictamente mayor que $ rad f = bigcap mathfrak p subset R colon f in mathfrak p $ ya que no todos los ideales primos de $ R $ son necesariamente $ ker x $ para algunos $ x en X $. Exigir que cada ideal primo $ mathfrak p in Spec R $ corresponda a un $ x en X $, y eliminar los duplicados innecesarios (dos puntos $ x $ y $ y $ no se pueden distinguir por conjuntos de desaparición si $ ker x = ker y $), obtenemos que $ X = Spec R $ es una condición suficiente simple para que la estructura de la gavilla $ mathscr O_X $ sea en su mayor parte computable (sabríamos que $ mathscr O_X (X_f) = R_f PS
maxSpec
Hasta ahora he explicado (lo mejor que he podido) por qué la topología de Zariski en $ Spec R $ es natural, lo que no responde a la pregunta planteada si pensamos (como suele hacerse) en $ mathbb A ^ n_ Bbbk $ como el conjunto de ideales máximos de $ maxSpec Bbbk[x_1,dots,x_n]$ en lugar del conjunto de ideales primos $ Spec Bbbk[x_1,dots,x_n]$, que se hace con bastante frecuencia. La razón para hacer esto es la Propiedad de Jacobson de anillos, que tiene un anillo si todo ideal primo es la intersección de los ideales máximos que lo contienen. Debe quedar claro por lo anterior que para tales anillos $ R $ también tenemos que $ V (f) subset V (J) $ implica $ J subset rad f $ ya que ciertamente la intersección de los ideales primos que contienen $ f $ es lo mismo que la intersección de los ideales máximos que contienen $ f $ siempre que $ R $ sea Jacobson. Por lo tanto, la gavilla de estructura para $ X = maxSpec (R) $ satisface $ mathscr O_X (X_f) = R_f $ cuando $ R $ es Jacobson.
Entonces, ¿cuándo es $ R $ Jacobson? Bueno, como se puede leer en Álgebra conmutativa de Eisenbud con una visión hacia la geometría algebraica, los campos son ciertamente Jacobson, $ mathbb Z $ es Jacobson, y la versión más general del Nullstellensatz: si $ R $ es un anillo de Jacobson, entonces también lo es $ R[x]PS Entonces, en particular, $ Bbbk[x_1,dots,x_n]$ es Jacobson, por lo que podemos hacer geometría algebraica en $ mathbb A ^ n_ Bbbk $ usando $ maxSpec $ en lugar de $ Spec $ (de modo que para $ Bbbk $ algebraicamente cerrado, por ejemplo, podemos identificar $ mathbb A ^ n_ Bbbk $ con $ n $ -tuplas de puntos en $ Bbbk $).
Reseñas y puntuaciones del post
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