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Solución:
Sea $S = s_1, ldots,s_n$ un no vacío conjunto finito de tamaño $n > 0$. Mostraremos por inducción sobre $n in mathbb N$ que existen algunos $m,M in S$ tales que para todo $s in S$, tenemos que $m leq s leq M$.
Caso base: Para $n=1$, tenemos $S = s_1$, por lo que tomar $m = s_1$ y $M=s_1$ satisface trivialmente la condición requerida.
Hipótesis de inducción: Suponga que la afirmación se cumple para $n=k$, donde $k geq 1$.
Queda por demostrar que la afirmación es válida true para $n = k+1$. Para ello, elige cualquier conjunto $S$ con elementos $k+1$, digamos $S = s_1 ,ldots,s_k,s_k+1$. Ahora por la hipótesis de inducción, el subconjunto: $$ S’ = S setminus s_k+1 = s_1 ,ldots,s_k $$ tiene un elemento mínimo y un elemento máximo. Es decir, sabemos que existe algún $m’,M’ in S’$ tal que para todo $s’ in S’$, tenemos que $m’ leq s’ leq M’$. Ahora observe que $s_k+1$ debe caer bajo $1$ de $3$ casos:
Caso 1: Supongamos que $s_k+1 < m'$. Luego toma $m = s_k+1$ y $M=M'$. Para ver por qué funciona esto, observe que cualquier elemento en $S$ es $s_k+1$ o algún $s' in S'$, y: $$ m = s_k+1 < m' leq s' leq M' =M $$
Caso 2: Supongamos que $m’ leq s_k+1 leq M’$. Luego toma $m = m’$ y $M=M’$. Para ver por qué funciona esto, observe que cualquier elemento en $S$ es $s_k+1$ o algún $s’ in S’$, y: $$ m = m’ leq s_k+1 leq M’ = M $$ $$ m = m’ leq s’ leq M’ = M $$
Caso 3: Supongamos que $s_k+1 > M’$. Luego toma $m =m’$ y $M=s_k+1$. Para ver por qué funciona esto, observe que cualquier elemento en $S$ es $s_k+1$ o algún $s’ in S’$, y: $$ m = m’ leq s’ leq M ‘ < s_k+1 = M$$
Por lo tanto, hemos demostrado que $S$ tiene un elemento mínimo y máximo, como se desea.
Sea $F$ un conjunto finito. si $F$ es $x $ entonces hemos terminado ya que tenemos vacío $x geq x $ y por lo tanto $x = max x $. Si $F = a_1 ,… a_n $. supongamos que son diferentes, de lo contrario volvemos al caso singleton. Ahora, toma $a_1$. SI $a_1 $ es mayor que cualquier otro $a_i$ entonces establece $a_1 = max F $ y hemos terminado. SI no, tome $a_2$ y repita el paso anterior. Continúe de esta manera inductivamente. Eventualmente, obtenemos el máximo.