Contamos con la solución a este rompecabezas, o por lo menos eso pensamos. Si sigues con preguntas dínoslo y sin pensarlo
Solución:
A veces es mucho más claro argumentar el caso general. Considere cualquier $g in G$, un grupo finito. Como $G$ es un grupo, sabemos que $gcdot g = g^2 in G$. Del mismo modo, $g^n in G$ para cualquier $n$. Así que hay una secuencia de elementos,
$$g, g^2, g^3, g^4, g^5, ldots, g^n, ldots $$
en $G$. Ahora, dado que $G$ es finito, debe haber un par de números $m neq n$ tales que $g^m = g^n$ (bueno, hay muchos de estos, pero eso es irrelevante para esta prueba).
¿Puedes terminar la prueba desde este punto? ¿Qué implica $g^m = g^n$ en un grupo?
¡Espero que esto ayude!
Dado que el grupo es finito, no puede darse el caso de que $g^n$ sea diferente para todos los $n$. Debe haber $n_1$ y $n_2$ tales que $g^n_1 = g^n_2$ donde $n_1 neq n_2$ (a menos que $g = e$; ). Por lo tanto, $g^n_1 – n_2 = e$.
Sí, el orden de un elemento siempre es menor o igual al orden del grupo. En la prueba anterior, suponga que $n_1$ y $n_2$ son todos positivos y que $n_1 < n_2$. Encuentre el par menor $n_1$ y $n_2$. Si $n_1$ es mayor que el orden del grupo, eso significa que vio al menos $n_1$ cosas diferentes antes de ver una repetición. Pero el grupo solo tiene menos de $n_1$ elementos.
$ab=a$ sucede solo cuando $b=e$. Por lo tanto, $a^n$ es diferente para todos los $n<|G|$.
Como $ax=b$ solo tiene una solución, existe un $z$ finito con $a^z=e$, por lo que todos los elementos tienen un orden finito.
Nos encantaría que puedieras difundir este escrito si te valió la pena.