Este dilema se puede solucionar de diversas formas, pero en este caso te damos la que en nuestra opinión es la solución más completa.
Solución:
Como ya se señaló en los comentarios, $Vtoinfty$ implica un espectro discreto en general. De hecho, esto se convierte en una equivalencia si se utiliza una versión algo más general de esta condición:
Teorema: supongamos que $V(x)$, $xge 0$, está acotado por debajo (y localmente integrable, como de costumbre). Entonces el espectro de $-d^2/dx^2+V(x)$ en $L^2(0,infty)$ (con una condición de frontera arbitraria en $x=0$) es puramente discreto si y solo si $lim_xtoinfty int_x^x+d V(t), dt = infty$ para todo $d>0$.
Esto generalmente se llama el criterio de Molchanovpuede intentar una búsqueda de esto si desea obtener más información.
He formulado esto para problemas de media línea, pero por el método de descomposición $sigma_ess(H)=sigma_ess(H_-)cupsigma_ess(H_+)$ también obtienes un resultado correspondiente sobre problemas de línea completa.
Apéndice: Quizá unas pocas palabras sobre la prueba, especialmente porque el “solvente compacto” ya se ha mencionado varias veces como un método posible. Este es un enfoque ciertamente obvio y no tiene nada de malo, pero mi preferencia personal aquí en una dimensión sería usar la teoría de la oscilación. Más precisamente, $sigma_ess=emptyset$ es equivalente a la afirmación de que cualquier solución no trivial $y$ de $-y”+Vy=Ey$ tiene solo un número finito de ceros para cualquier $Ein mathbb R$ (el número de ceros cuenta el número de valores propios por debajo de $E$, más o menos uno).
Ahora es bastante sencillo mostrar, usando variables de Prufer, que esto es de hecho equivalente a $limint_x^x+dV, dt=infty$.
La idea física es que $-Delta+q$ para un “potencial de confinamiento” suficientemente creciente $q$ en $mathbb R^n$ debería tener un resolvente compacto, lo que luego prueba la discreción de su espectro. En muchas situaciones explícitas, uno puede probar esto directamente imitando las pruebas del lema (s) de compacidad de Rellich.
No se ilustra una versión abstracta, pero tal vez no trivial, para formas automórficas en http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/simplest_afc_schrodinger.pdf
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