Después de de esta prolongada búsqueda de datos pudimos solucionar esta preocupación que tienen ciertos lectores. Te dejamos la solución y esperamos servirte de mucha ayuda.
Solución:
Tiene razón cuando señala que alguna La función de $ Delta x ^ 2 + Delta y ^ 2 + Delta z ^ 2 – Delta t ^ 2 $ será constante y acordada por todos los observadores. Entonces podríamos definir $ Delta s $ como su coseno … si lo único que nos interesara fuera obtener un invariante.
También tiene razón cuando señala el problema dimensional. Mide el tiempo en centímetros luz y la distancia a lo largo de los ejes x, y, z en centímetros. Luego, la longitud se mide en centímetros, y también el tiempo … Entonces, el lado derecho tiene unidades cm $ ^ 2 $, y por lo tanto, también el lado izquierdo. El uso de coseno u otras funciones similares, como la función de identidad que sugiere, produciría una cantidad que ni siquiera tenía las unidades de longitud (y, por lo tanto, no podría ser el tiempo adecuado).
Ahora, las definiciones son arbitrarias, por lo que podría definir Ps para que sea igual a $ Delta x ^ 2 + Delta y ^ 2 + Delta z ^ 2 – Delta t ^ 2 $ si lo desea, y podría darle cualquier nombre que desee. Pero, ¿podría expresar las leyes fundamentales de la física en términos de esa cantidad? Es un requisito del principio de relatividad de que sea invariante, y que Ps o cos (Ps) lo satisfarían, pero es deseable que nos facilite la vida en nuestras fórmulas, ya que hacer Física ya es bastante difícil. Hay razones importantes por las que queremos usar la función de raíz cuadrada en lugar de coseno o en lugar de la función de identidad en la que insiste una de las otras respuestas.
Hay más que hacer que se parezca al teorema de Pitágoras o que parezca la física prerrelativista. Estas razones no se hacen evidentes hasta que se llega a la Relatividad General, o al menos a la Geometría Diferencial. Esta es su pregunta, reformulada: ¿Por qué queremos estudiar una cantidad invariante con dimensiones de longitud? (Que es lo mismo que el tiempo).
La respuesta es que queremos poder definir $ s $, el tiempo adecuado o, como lo estoy expresando, “la longitud de un camino”. Estará dado por una integral de línea $ s = int ds $ a lo largo de la ruta, y será invariante para todos los observadores. Para un observador que se está moviendo por ese camino, le parecerá el tiempo transcurrido. Ahora bien, es bastante básico que si transcurren los primeros 2 cm de tiempo y luego otros 3, el tiempo total transcurrido es de 5 cm. Entonces necesitamos una cantidad aditiva. Ni el coseno ni la Ps son aditivos, como muestran ejemplos simples, pero si definimos $ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dz ^ 2 + dy ^ 2-dt ^ 2 $, entonces será aditivo, por el no dimensional superior -Análogo euclidiano al teorema de Pitágoras. por eso ocurre el cuadrado, y de hecho está elevando al cuadrado una cantidad $ ds $, y cuando intervienen intervalos finitos a lo largo de líneas rectas, es de hecho el cuadrado de una cantidad $ Delta s $ definida como $$ Delta s = sqrt Delta x ^ 2 + Delta y ^ 2 + Delta z ^ 2 – Delta t ^ 2. $$
RESPUESTA CORTA
Elevamos $ Delta s $ para obtener una cantidad aditiva a lo largo de las líneas del mundo.
y Δs es el intervalo de espacio-tiempo.
En realidad, muchos (¿la mayoría?) Dirán que el intervalo de espacio-tiempo es $ Delta s ^ 2 $. En otras palabras, $ Delta s ^ 2 $ es no el intervalo al cuadrado; es el símbolo para el intervalo.
Dado que esto ha sido cuestionado en un comentario, proporciono algunas referencias a continuación:
Bernard Schutz escribe en Gravedad desde cero: una guía introductoria a la gravedad y la relatividad general:
Aquí está la definición del intervalo espacio-tiempo. Suponga, medido por cierto experimentador, dos eventos están separados por un tiempo $ t $ y una distancia espacial $ x $. Entonces, en términos de estos números, el intervalo de espacio-tiempo entre los dos eventos es la cantidad $$ s ^ 2 = x ^ 2-c ^ 2 t ^ 2. Tag 17.1 $$ Observe que esto está escrito como el cuadrado de un número $ s $. El intervalo-tiempo-ritmo es la cantidad $ s ^ 2 $, no $ s $. De hecho, no nos ocuparemos a menudo de $ s $ en sí. La razón es que $ s ^ 2 $ no siempre es positivo, a diferencia de la distancia en el espacio. Si $ ct $ es mayor que $ x $ en la ecuación 17.1, $ s ^ 2 $ será negativo. Para evitar sacar la raíz cuadrada de un número negativo, los físicos generalmente solo calculan $ s ^ 2 $ y lo dejan así. Solo debes considerar $ s ^ 2 $ como un solo símbolo, en lugar de como el cuadrado de algo.
Robert M. Wald escribe en Espacio, tiempo y gravedad: la teoría del Big Bang y los agujeros negros:
¿Qué información inmediata nos da el intervalo espaciotemporal? Si el intervalo de espacio-tiempo entre los eventos A y B es negativo, entonces $ t_1 $ o $ t_2 $ es negativo. De ello se deduce que los eventos A y B tienen una relación temporal, como se ilustra en la figura 12 $ a $. En este caso, es posible que un observador inercial esté presente en los eventos A y B. El tiempo transcurrido que mediría dicho observador entre A y B es simplemente la raíz cuadrada de menos el intervalo de espacio-tiempo, $ Delta t = sqrt – text (intervalo) $.
Además, a partir de intervalos de espacio-tiempo:
El intervalo es definido por
$$ Delta s ^ 2 = Delta x ^ 2 + Delta y ^ 2 + Delta z ^ 2- (c Delta t) ^ 2 $$
Tenga en cuenta que el símbolo $ Delta s ^ 2 $ generalmente se toma como una cantidad fundamental y no el cuadrado de alguna otra cantidad $ Delta s $.
Y Sean Carroll escribe en “Lecture Notes on General Relativity”:
El intervalo se define como $ s ^ 2 $, no la raíz cuadrada de esta cantidad.
Es que una razón teórica o práctica por la que definimos el intervalo espacio-tiempo en función de la cuadratura
Teóricamente, el intervalo es el punto de Minkowski (interior) producto de un desplazamiento de cuatro vectores consigo mismo
$$ Delta s ^ 2 = x ^ mu x _ mu $$
cual es invariante bajo la transformación de Lorentz. Esto es análogo a la longitud al cuadrado del vector de desplazamiento 3-D
$$ l ^ 2 = mathbf x cdot mathbf x $$
Sin embargo, el producto interno de Minkowski no es positivo definido; el producto interno puede ser positivo o negativo.
Prácticamente, el signo del intervalo determina si el desplazamiento de cuatro es similar al tiempo o al espacio (el intervalo es similar a la luz si el intervalo es cero).
Si el intervalo es similar al tiempo, entonces el tiempo adecuado es
$$ tau = sqrt frac c ^ 2 $$
Si el intervalo es similar al espacio, la distancia adecuada es
$$ sigma = sqrt $$
¿O es simplemente para que se parezca al teorema de Pitágoras …?
Si echa un vistazo a la “Relatividad: la teoría especial y general” de Einstein, verá en el Apéndice I (justo antes de la ecuación (10)) que para derivar la ecuación de intervalo, Einstein realmente comenzó con el Teorema de Pitágoras. en 3D, que puso así:
$$ r = sqrt x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = ct $$
De esta forma mostró el vector de luz viajando en un espacio tridimensional.
Luego transformó la ecuación de varias maneras, pero el Teorema de Pitágoras fue la fuente de toda la ecuación.
(Y obtuve el voto negativo porque … ¿le recordé la historia? Bueno, supongo que no vale la pena estudiar las fuentes …)
EDITAR: PyRulez comentó a continuación que: “Esto realmente no explica por qué el intervalo de espacio-tiempo se elevó al cuadrado (solo deben ser las distancias)”..
Bueno, $ x $ ($ Delta x $) es una distancia, $ y $ es una distancia, $ z $ es una distancia y $ ct $, como mostré anteriormente (o lo que simplemente se sigue del hecho de que es la velocidad multiplicado por el tiempo) – también es una distancia. Ahora, ¿cómo llamas al resultado de sumar y restar distancias (al cuadrado)? Einstein lo llamó un “elemento de línea” o “elemento lineal” y escribió en “El fundamento de la teoría general de la relatividad” (p. 119):
“La magnitud del elemento lineal perteneciente a puntos del continuo tetradimensional en proximidad infinita, lo llamamos ds”.
Si tenemos un continuo y sumamos / restamos lo que llamamos distancias en este continuo, entonces debemos obtener una distancia como resultado.
Si tienes alguna sospecha o capacidad de ascender nuestro post eres capaz de ejecutar una crítica y con gusto lo estudiaremos.