Después de mucho trabajar pudimos encontrar la contestación de este conflicto que ciertos lectores de esta web presentan. Si deseas aportar algún detalle puedes compartir tu conocimiento.
Solución:
Medición de la curvatura
La curvatura se puede cuantificar mediante muchos tensores, y sus diversas contracciones dan lugar a una plétora de escalares que describen la curvatura. En la relatividad general, los más comunes son,
- Tensor de curvatura de Riemann, $ R ^ a _ bcd $ que mide hasta qué punto la métrica no es isométrica al espacio euclidiano plano. De otra manera, mide la falla del transporte paralelo.
- Tensor de Ricci, $ R_ ab = R ^ c _ acb $ que aparece directamente en las ecuaciones de campo de la relatividad general.
- Escalar de Ricci, $ R = g ^ ab R_ ab $, que, informalmente, cuando es positivo en un punto particular sugiere que una bola alrededor del punto tiene un volumen menor que una bola de igual radio en el espacio euclidiano.
El tensor de Weyl $ C_ abcd $ mide las fuerzas de marea experimentadas a lo largo de una geodésica. Además, en las dimensiones $ d geq 4 $, la desaparición del tensor de Weyl indica que la métrica es conformemente plana, es decir, una transformación conforme que cambia la métrica por un factor general,
$$ g_ ab to Omega ^ 2 (x) g_ ab $$
se puede utilizar para hacer la métrica plana. Además, el tensor gobierna si la radiación puede propagarse a través del espacio-tiempo sin contenido importante. Finalmente, la descomposición de Ricci se puede utilizar para expresar la curvatura de Riemann en términos de varias otras formas de curvatura, que incluyen una pieza de Weyl.
Materia y curvatura
Las ecuaciones de campo de Einstein relacionan la curvatura de una variedad de espacio-tiempo con el contenido de materia:
$$ R_ ab – frac 1 2 g_ ab R + Lambda g_ ab = 8 pi G T_ ab $$
donde $ Lambda $ es la constante cosmológica y $ T_ ab $ es el tensor de tensión-energía que describe el contenido de la materia, que se deriva del Lagrangiano de la materia. Como ejemplo, supongamos que tuviéramos algo de materia con una energía particular, entonces una de las entradas sería $ T_ 00 = epsilon $, donde $ epsilon $ es la densidad de energía. Aquí se da una descomposición general del tensor. A menudo, no podemos resolver las ecuaciones de forma exacta para un sistema en particular. En este caso recurrimos a la teoría de la perturbación, donde perturbamos linealmente un fondo conocido, es decir
$$ g_ ab to g_ ab + h_ ab + mathcal O (h ^ 2) $$
Movimiento de partículas de prueba
El movimiento de una partícula de prueba en un espacio-tiempo particular se rige por la ecuación geodésica,
$$ frac mathrm d ^ 2 x ^ alpha mathrm d s ^ 2 + Gamma ^ alpha _ beta gamma frac mathrm d x ^ beta mathrm ds frac mathrm d x ^ gamma mathrm d s = 0 $$
donde $ Gamma ^ a _ bc $ son los símbolos de Christoffel, es decir, la conexión Levi-Civita expresada en la base de coordenadas, con el supuesto de que el tensor métrico no tiene torsión. El concepto general es que las geodésicas son los caminos naturales que seguirán las partículas de prueba a lo largo de una variedad. Por ejemplo, para piso Minkowski espacio, la conexión se desvanece y, por lo tanto, obtenemos $ x (s) $ es una función lineal como se esperaba, ya que $ x ” (s) = 0 $.
Ejemplo físico
La métrica de Schwarzschild describe un contenido de materia esférica, que es estática, es decir, con un vector $ parcial_t $ Killing y $ SO (3) $ simetría; por ejemplo, podría describir la Tierra o un agujero negro:
$$ mathrm d s ^ 2 = left (1- 2GM over r right) mathrm d t ^ 2 – left (1- 2GM over r right) ^ -1 mathrm d r ^ 2 – underbrace r ^ 2 mathrm d theta ^ 2 -r ^ 2 sin ^ 2 theta mathrm d phi ^ 2 _ texto métrica en la esfera $$
Simplemente por inspección, vemos que ya está de acuerdo con una comprensión clásica de la gravitación, ya que posee una singularidad en $ r = 0 $, al igual que la relación clásica $ F propto r ^ – 2 $. La singularidad en $ r = 2GM $ refleja que hemos elegido un sistema de coordenadas inapropiado. No es una curvatura ni una singularidad cónica, se puede demostrar que las formas de curvatura no son singulares en $ r = 2GM $.
Evidencia de la relatividad general
El reciente descubrimiento de ondas gravitacionales proporciona evidencia empírica que respalda la teoría que predijo su existencia. Una onda gravitacional puede viajar a la velocidad $ c $, pero también por debajo, dependiendo de la amplitud. Esencialmente, emplea el propio espacio-tiempo como medio. Una métrica de onda particular:
$$ mathrm d s ^ 2 = mathrm d t ^ 2 – mathrm d r ^ 2 + H (tr, x ^ 1, x ^ 2) ( mathrm d t- mathrm d r) ^ 2 – mathrm d (x ^ 1) ^ 2 – mathrm d (x ^ 2) ^ 2 $$
donde las condiciones en $ H $ están determinadas por la demanda de que el tensor de tensión-energía desaparezca para garantizar que las ondas sean verdaderamente puramente gravitacionales, en lugar de, por ejemplo, electromagnéticas. Específicamente, $ Delta H = 0 $, donde $ Delta $ es el laplaciano con coordenadas $ x ^ 1, x ^ 2 $.
Si desea una medición física directa de la curvatura, aquí tiene un plan que llevaría mucho dinero y décadas, posiblemente siglos, para configurarlo. ¡Perfecto para la física!
Lo que necesita son tres satélites equipados con láseres, detectores de luz, capacidades de puntería de precisión y comunicación por radio. Estos tres satélites se lanzan al espacio y se colocan lejos unos de otros para formar las puntas de un triángulo muy grande. Luego, los satélites activan dos láseres, apuntando a los otros dos. Cada satélite informa a los demás cuando recibe la luz láser. Una vez que todos los satélites informan que ven la luz láser de los demás, miden el ángulo entre sus propios dos rayos láser. Cada satélite transmite este ángulo a la sede en la Tierra.
La curvatura general del espacio se puede determinar a partir de estos ángulos. Si la suma es 180 grados, como aprendiste en la clase de geometría, entonces el espacio alrededor de los satélites es plano.
Si la suma es más de 180 grados, entonces el espacio tiene una curvatura positiva allí, como la superficie de una esfera. Puede imaginarse la situación en la Tierra trazando una línea desde el Polo Norte hasta el ecuador, continuando un cuarto alrededor del mundo a lo largo del ecuador y luego regresando al Polo Norte. Acabas de dibujar un triángulo con tres ángulos de 90 grados para una suma de 270.
Si la suma de los ángulos es menor que 180, la región del espacio tiene una curvatura negativa como una silla de montar.
Digamos que los satélites rodean una estrella. Dado que la luz se inclina hacia las masas, los satélites tendrán que apuntar lejos de la estrella para que la luz se doble alrededor de la estrella y golpee a los otros satélites. Esto significa que los ángulos del triángulo resultante serán más grandes de lo normal (es decir, espacio plano), lo que significa que la suma será mayor de 180 grados. Por tanto, podemos concluir que el espacio tiene una curvatura positiva cerca de una masa.
La relación exacta entre la suma de los ángulos del triángulo y la curvatura total dentro de ese triángulo está dada por
$$ sum limits ^ 3_ i = 1 theta_i = pi + iint_T K dA $$
dónde $ theta_i $ es el ángulo medido en cada satélite (medido en radianes), $ T $ es la superficie triangular 2D definida por los tres satélites que se integran, $ K $ es la curvatura gaussiana en cada punto del triángulo, y $ dA $ es el área infinitesimal con curvatura $ K $. Para una región del espacio con curvatura total cero, los ángulos sumarán $ pi $ radianes (180$ ^ circ $). La curvatura positiva conduce a una suma mayor que $ pi $, curvatura negativa a una suma menor que $ pi $.
Para ilustrar el experimento, imagine que estos tres satélites se despliegan en el espacio profundo, lejos de cualquier fuente de gravedad, y se sitúan de modo que estén a distancias iguales entre sí. Los láseres que rebotan entre ellos formarían los lados de un triángulo equilátero, así:
Los puntos rojos son los satélites y las líneas azules son los rayos láser. Cada ángulo es de 60 grados, lo que significa que la suma de los ángulos es de 180 grados, lo que indica un espacio plano.
Ahora imagine que los satélites se colocan en la misma formación, pero rodeando un agujero negro, como muestra la siguiente ilustración.
Debido a la intensa gravedad del agujero negro, los satélites tienen que apuntar sus láseres lejos del agujero negro para golpear a los otros satélites. Esto significa que el ángulo entre los láseres es superior a 60 grados, lo que significa que la suma de los ángulos del triángulo es superior a 180 grados. Esto indica que el espacio que contiene el agujero negro tiene una curvatura total positiva.
Una última medida interesante que podemos hacer es medir la curvatura del espacio un poco más lejos del agujero negro. Ponga los satélites en formación cerca de un agujero negro, como se ilustra a continuación.
Los láseres del satélite más alejados del agujero negro se ven menos afectados debido a la gravedad más débil en esa región, por lo que el ángulo es solo un poco más de 60 grados. Los otros dos satélites necesitan ajustar sus láseres de manera más sustancial debido a la mayor curvatura inducida por el agujero negro. Por lo tanto, los ángulos en los satélites más cercanos al agujero negro son sustancialmente menores de 60 grados, lo que significa que la suma de los ángulos de este triángulo es menor de 180 grados. Esto indica que la curvatura del espacio cerca de un agujero negro, pero que no lo contiene, es negativa.
De todo esto, podemos concluir que la curvatura total del espacio dentro de un agujero negro es positiva, la curvatura total del espacio que rodea al agujero negro es negativa. A medida que los satélites se alejan cada vez más del agujero negro, la gravedad se vuelve cada vez más débil, por lo que la suma de los ángulos del triángulo formado por los láseres se acerca cada vez más a 180 grados. Esto significa que la curvatura total de todo el espacio fuera del agujero negro es exactamente opuesta a la curvatura dentro del agujero negro (asumiendo que el agujero negro es lo único en el universo).
Da la casualidad de que hay un experimento similar en la etapa de prototipo que están llevando a cabo la Agencia Espacial Europea (ESA) y la NASA llamado eLISA. Esta misión es diferente porque está destinada a medir las ondas gravitacionales en lugar de la gravedad directamente e implica medir las distancias entre los satélites en lugar del ángulo.
Siguiendo la descripción de Synge de un “detector de curvatura de cinco puntos” 1 y su generalización (por ejemplo, como se indica en [2]), la curvatura de cinco participantes ($ A $, $ B $, $ N $, $ P $, $ Q $) que fueron y permanecieron (crono-geométricamente) rígidos entre sí (es decir, encontrando relaciones de duración de ping constantes) se mide como el valor numérico real $ kappa_5 $ para el cual el determinante de Gram correspondiente desaparece; es decir, como solución de
0 = $ Tiny begin array ccccc 1 & text Cos[ sqrt kappa_5 fracA , BB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracA , NA , B fracA , NB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracA , PA , B fracA , PB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracA , QA , B fracA , QB , A text] , , \ , , text Cos[ sqrt kappa_5 fracB , AA , B text] & 1 & text Cos[ sqrt kappa_5 fracB , NA , B fracB , NB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracB , PA , B fracB , PB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracB , QA , B fracB , QB , A text] , , \ , , text Cos[ sqrt kappa_5 fracN , AA , B fracN , AB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracN , BA , B fracN , BB , A text] & 1 & text Cos[ sqrt kappa_5 fracN , PA , B fracN , PB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracN , QA , B fracN , QB , A text] , , \ , , text Cos[ sqrt kappa_5 fracP , AA , B fracP , AB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracP , BA , B fracP , BB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracP , NA , B fracP , NB , A text] & 1 & text Cos[ sqrt kappa_5 fracP , QA , B fracP , QB , A text] , , \ , , text Cos[ sqrt kappa_5 fracQ , AA , B fracQ , AB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracQ , BA , B fracQ , BB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracQ , NA , B fracQ , NB , A text] & text Cos[ sqrt kappa_5 fracQ , PA , B fracQ , PB , A text] & 1 , , end matriz $,
donde la relación de duración del ping medida cronométricamente $ frac A , B B , A $ es la relación entre la duración de $ A $ desde que se ha establecido una indicación de señal hasta que se ha observado la reflexión correspondiente (o “eco de ping “) a partir de la duración de $ B $ y $ B $ desde haber establecido una indicación de señal hasta haber observado el reflejo correspondiente de $ A $,
la relación de duración del ping medida cronométricamente $ frac A , N A , B $ es la relación entre la duración de $ A $ desde que se ha establecido una indicación de señal hasta que se ha observado el reflejo correspondiente de $ N $ y $ La duración de A $ desde que ha establecido una indicación de señal hasta haber observado la reflexión correspondiente de $ B $,
la relación de duración del ping medida cronométricamente $ frac A , N B , A $ es la relación entre la duración de $ A $ desde que se ha establecido una indicación de señal hasta que se ha observado el reflejo correspondiente de $ N $ y $ La duración de B $ desde haber establecido una indicación de señal hasta haber observado la reflexión correspondiente de $ A $, con $ frac A , N B , A: = frac A , N A , B frac A , B B , A $, y así sucesivamente.
De manera similar, los valores de curvatura $ kappa_n $ pueden determinarse para cualquier $ n $ participantes mutuamente rígidos (sensiblemente para $ n ge 4 $).
Ya se ha preguntado aquí si y cómo tales valores de curvatura “discretos” medidos de $ kappa_n $ en general y de $ kappa_5 $ en particular pueden estar relacionados con los tensores de curvatura (o escalares correspondientes) que se consideran en geometría diferencial.
EDITAR (en respuesta a los comentarios):
Como ilustración del caso más simple, el valor $ kappa_4 $ que expresa una curvatura “discreta” para 4 participantes dados que son mutuamente rígidos (como generalmente se requiere) y que están incluso en reposo entre sí, es decir, tales que $ frac A , B B , A = 1 $, $ frac A , C C , A = 1 $, y así sucesivamente,
considere el “cuadrilátero esférico con vértices $ A_1 $, $ B_1 $, $ I_ 20 $, $ I_ 10 $” en esta imagen:
Si los valores requeridos de las proporciones de duración del ping entre esos cuatro participantes son iguales a las proporciones de longitudes de arco de círculo máximo entre esos vértices,
entonces el valor $ kappa_4 $ para el cual el determinante Gram de cuarto orden correspondiente desaparece es igual
$ kappa_4 = left ( frac A_1 , B_1 R / c right) ^ 2 $,
donde $ R $ es el radio de la esfera y $ c $ la “velocidad de la luz”.
Referencias:
[1.] JLSynge, “Gravitación. La teoría general”; ch. XI, §8: “Un detector de curvatura de cinco puntos”.
[2.] SLKokkendorff, “Análisis de matrices de Gram de espacios finitos distancé en curvatura constante” (Geometrie discreta y computacional 31, 515, 2004).
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