Solución:
Dos vectores son ortogonales si su producto interno es cero. En otras palabras $ langle u, v rangle = 0 $. Son ortonormales si son ortogonales, y además cada vector tiene norma $ 1 $. En otras palabras $ langle u, v rangle = 0 $ y $ langle u, u rangle = langle v, v rangle = 1 $.
Ejemplo
Para vectores en $ mathbb {R} ^ 3 $ dejar
$$ u ; ; = ; ; izquierda[ begin{array}{c}
1\
2\
0\
end{array} right ] hspace {2pc} v ; ; = ; ; izquierda [ begin{array}{c}
0\
0\
3\
end{array} right ]. $$
Los vectores $ u $ y $ v $ son ortogonales ya que
$$ langle u, v rangle ; ; = ; ; 1 cdot 0 + 2 cdot 0 + 0 cdot 3 ; ; = ; ; 0 $$
pero no son ortonormales ya que $ || u || = sqrt { langle u, u rangle} = sqrt {1 + 4} = sqrt {5} $ y $ || v || = sqrt { langle v, v rangle} = sqrt {3 ^ 2} = 3 $. Si definimos nuevos vectores $ hat {u} = frac {u} {|| u ||} $ y $ hat {v} = frac {v} {|| v ||} $ luego $ hat {u} $ y $ hat {v} $ son ortonormales ya que ahora cada uno tiene una norma $ 1 $, y la ortogonalidad se conserva desde $ langle hat {u}, hat {v} rangle = frac { langle u, v rangle} {|| u || cdot || v ||} = 0 $.
Puede pensar en la ortogonalidad como vectores perpendiculares en un espacio vectorial general. Y para la ortonormalidad lo que pedimos es que los vectores sean de longitud uno. Entonces, los vectores que son ortogonales restringen el ángulo entre los vectores, mientras que los vectores ortonormales restringen tanto el ángulo entre ellos como la longitud de esos vectores. Estas propiedades son capturadas por el producto interno en el espacio vectorial que ocurre en la definición.
Por ejemplo, en $ mathbb {R} ^ 2 $ los vectores $ (0,2) $ y $ (1,0) $ son ortogonales pero no ortonormales porque $ (0,2) $ tiene una longitud de $ 2. $