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Para $f,gin L^2$, la convolución $f*g$ pertenece a $C_0(mathbb R)$. Tomar la transformada de Fourier de una función $C_0$ es problemático: tales transformadas generalmente no son funciones, sino meras distribuciones (como señala Jose27).
Es mejor trabajar de derecha a izquierda. El producto $hat f hat g$ está en $L^1$. Aplique la transformada de Fourier inversa (esencialmente igual que la transformada de Fourier, pero con el signo opuesto en la normalización exponencial y tal vez diferente). El resultado es una función $C_0$. Quiere mostrar que esta función es $f*g$.
Argumentar por densidad. Para $f,gin mathcal S$ se conoce el resultado. El mapa $(f,g)mapsto f*g$ es un mapa continuo de $L^2times L^2$ a $C_0$. Además, $(f,g)mapstohat f hat g$ es continua desde $L^2times L^2$ hasta $L^1$. La transformada inversa de Fourier es continua desde $L^1$ hasta $C_0$. La conclusión sigue.
En el párrafo anterior, $C_0$ se puede reemplazar por $L^infty$ (la norma es la misma), ahorrándote la molestia de probar que $f*g$ se anula en el infinito.
Se podría argumentar que este es solo un argumento parcial.
Entiendo la pregunta de la siguiente manera: 1) está bien definida $f ast g$: Sí, ciertamente, y dado que una fácil aplicación de Cauchy-Schwartz arroja $$ | f ast g|_infty leq |f|_2 |g|_2$$ ciertamente tenemos una función acotada. Desde $$ | T_x(f ast) g |_infty = |(T_xf -f) ast g|_infty leq |T_x f -f|_2 |g|_2to 0 quad mboxpara ,, |x| to 0$$ porque el cambio es continuo en la norma $L^2$ (pruébelo para funciones continuas compatibles de forma compacta, luego por densidad lo obtiene para cada $f in L^2$) encontramos que $f ast g$ es de hecho uniformemente continuo. Usando la densidad de la función de soporte compacto (continua) en $L^2(R)$ una vez más y el hecho de que el producto de convolución de dos funciones de este tipo es, por lo tanto, una función de soporte compacto implica que $f ast g in C^0 (R)$, es decir, $$lim_x to infty f ast g (x) = 0 . $$
2) está definida la transformada de Fourier de $f ast g$ (y allí uno tiene que decir: ¡solo en el entorno distribucional, Y en este entorno distribucional hay una inversa a la transformada de Fourier, en el ámbito de las distribuciones temperadas!) . Esto hace que el (buen) argumento dado anteriormente sea una declaración válida (no trivial).
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