Si encuentras algún problema con tu código o proyecto, recuerda probar siempre en un ambiente de testing antes añadir el código al proyecto final.
Solución:
Hablando muy aproximadamente: puede pensar en la diferencia en términos del Principio de Incertidumbre de Heisenberg, una versión del cual dice que “ancho de banda” (distribución de frecuencia) y “duración” (distribución temporal) no pueden hacerse arbitrariamente pequeñas.
La transformada de Fourier clásica de una función le permite realizar una medición con un ancho de banda 0: la evaluación $ hat f (k) $ nos dice con precisión el tamaño del componente de frecuencia $ k $. Pero al hacerlo, pierde todo el control sobre la duración espacial: no sabe cuándo en el tiempo suena la señal. Este es el caso límite del principio de incertidumbre: precisión absoluta en la frecuencia y control cero en la dispersión temporal. (Mientras que la señal original, cuando se mide en un tiempo fijo, le brinda solo precisión absoluta en la amplitud en ese tiempo fijo, pero información cero sobre el espectro de frecuencia de la señal, y representa el otro extremo del principio de incertidumbre).
La transformada wavelet aprovecha los casos intermedios del principio de incertidumbre. Cada medición de ondículas (la transformada de ondículas correspondiente a un parámetro fijo) le dice algo sobre la extensión temporal de la señal, así como algo sobre el espectro de frecuencia de la señal. Es decir, del parámetro $ w $ (que es el análogo del parámetro de frecuencia $ k $ para la transformada de Fourier), podemos derivar una frecuencia característica $ k (w) $ y un tiempo característico $ t (w) $, y digamos que nuestra función inicial incluye una señal de “aproximadamente frecuencia $ k (w) $” que sucedió en “aproximadamente el tiempo $ t (w) $”.
¿Cómo es esto útil? Digamos que estamos mirando la señal de la luz emitida por un semáforo. Así que durante algún tiempo será rojo y durante algún tiempo será verde (ignore el amarillo por ahora). Si tomamos la transformada de Fourier de la frecuencia observada, podemos decir que
- En algún momento el semáforo se ilumina en rojo. (Conocemos la frecuencia con precisión infinita y que la parte roja de la señal no es cero).
- En algún momento el semáforo se ilumina en verde.
Pero un semáforo en funcionamiento tendría rojo o verde a la vez, y no ambos. Y si el semáforo funciona mal y muestra ambas luces al mismo tiempo, todavía veríamos desde la transformada de Fourier
- En algún momento el semáforo se ilumina en rojo.
- En algún momento el semáforo se ilumina en verde.
Pero si tomamos la transformada de ondículas, podemos sacrificar la precisión de la frecuencia para obtener información temporal. Entonces, con la transformada wavelet realizada en el semáforo en funcionamiento, podemos ver
- En el parámetro $ w $ que corresponde aproximadamente a que $ t (w) $ sea la 1 en punto en punto y $ k (w) $ corresponda a rojo, la transformada wavelet es grande y distinta de cero. Esto puede interpretarse en el sentido de que en algún momento alrededor de la 1 en punto (podría ser exactamente la 1 en punto, podría haber pasado 1 minuto, podría ser 30 segundos antes) la luz mostró un color que es más o menos rojo (podría ser un un poco de púrpura, o tal vez un poco de ámbar).
- En el parámetro $ w $ que corresponde aproximadamente a que $ t (w) $ sea la 1 en punto en punto y $ k (w) $ corresponda a verde, la transformada wavelet es casi cero. Esto puede interpretarse en el sentido de que en todo momento alrededor de la 1 en punto (digamos más o menos 2 minutos) el semáforo no muestra ningún indicio de verde.
- En el parámetro $ w $ que corresponde aproximadamente a que $ t (w) $ sea cinco minutos después del 1 y $ k (w) $ corresponda a verde, la transformada wavelet es grande y distinta de cero. Esto indicaría que alrededor de la 1:05 (tal vez 1:06 o 1:04) la luz brillaba de color verdoso (podría tener un tinte de verde azulado o un poco de amarillo).
Esto nos diría que el semáforo no solo puede mostrar luces rojas y verdes, sino que al menos alrededor de la 1 en punto la luz funciona correctamente y solo muestra una luz.
En términos sencillos: una transformada de Fourier (FT) le dirá qué frecuencias están presentes en su señal. Una transformada de ondículas (WT) le dirá qué frecuencias están presentes y dónde (oa qué escala). Si tuviera una señal que estuviera cambiando en el tiempo, el FT no le diría cuándo (hora) ha ocurrido. También puede pensar en reemplazar la variable de tiempo con una variable de espacio, con una analogía similar.
Interesante pregunta.
Mi conjetura sería que una ondícula se puede definir dentro de un lapso de tiempo específico. Como dice la primera oración en la página de wikipedia:
Una ondícula es una oscilación en forma de onda con una amplitud que comienza en cero (0), aumenta y luego disminuye de nuevo a cero.
Por lo tanto, una ondícula se puede definir dentro de un cierto lapso de tiempo, comenzando en f (t_0) = 0 y terminando en f (t_end) en 0. Esto nos da la localización del tiempo.
Por otro lado, una transformada de Fourier es una integral de t = -infinito a t = + infinito. Entonces no hay localización de hora. Incluso si transformara una ondícula a su dominio de frecuencia, la relación de fase relativa de las diferentes frecuencias contribuyentes determina la posición en el tiempo de la ondícula transformada.
Editar: Por supuesto, se puede realizar una transformada de Fourier en un cierto intervalo de tiempo t, pero tenga en cuenta que, al volver a transformarse en el dominio del tiempo, la señal transformada se repetirá cada intervalo de tiempo t. De nuevo, esto no dará ninguna localización a tiempo para una transformada de Fourier.
NB: Parece que no puedo comentar mi propia respuesta ya que no había iniciado sesión, así que edité mi propia respuesta. Lo siento por los inconvenientes ocasionados.
Puedes añadir valor a nuestro contenido informacional cooperando tu experiencia en las notas.