Nuestro equipo de trabajo ha pasado mucho tiempo buscando para darle solución a tus búsquedas, te dejamos la respuestas de modo que esperamos que te sea de gran apoyo.
Solución:
Esta no es una respuesta a su pregunta, sino un comentario a su publicación en crossvalidated.SE.
En su publicación, consideró el caso $ k = 2 $. La pregunta que trató de responder es si hay dos distribuciones iid $ A, B $ tales que $ AB $ se distribuye uniformemente. Resulta que esto no es posible. La condición para que se satisfaga la función característica $ phi $ dice $$ | phi (t) | ^ 2 = operatorname sinc ( pi t) $$ que claramente no tiene solución.
Una pregunta diferente es si $ A + B $ se pueden distribuir uniformemente. Para esto necesitamos que $$ phi (t) ^ 2 = operatorname sinc ( pi t). $$ La solución es $$ phi (t) = sqrt operatorname sinc ( pi t) $$ con un $ sqrt cdot $ complejo (cuyo corte de rama está alejado del eje real). Sin embargo, para que $ phi (t) $ sea una función característica de una distribución de probabilidad, tiene que cumplir (al menos) $ phi (-t) = overline phi (t) $. Comprobemos $$ phi (-t) = sqrt – operatorname sinc ( pi t) = pm i sqrt operatorname sinc ( pi t) neq overline phi (t) $$ para cualquier elección de raíz cuadrada.
Por tanto, no es posible tener una distribución uniforme como una suma de distribuciones $ k = 2 $ iid.
Como señala @adfriedman, su problema original en realidad no tiene solución en $ mathbb C $. Tenga en cuenta que
$$ z overline z = | z | ^ 2 $$
es siempre real y no negativo. Tu problema original
$$ varphi (t) overline varphi (t) = | varphi (t) | ^ 2 = text sinc (t) $$
no tiene ninguna solución, ya que $ mathrm sinc (t) $ tiene excursiones negativas. (Quizás si agrega $ 0.217234 .. $ al lado derecho, pueda encontrar una solución).
Sin embargo, tratar de encontrar la transformada inversa de Fourier de $ ( mathrm sinc ( omega)) ^ frac 1 2 $ es interesante por derecho propio, así que eché un vistazo a lo que podría ser.
Como señala @Alex_Francisco, $ ( mathrm sinc ( omega)) ^ frac 1 2 $ es una función compleja de múltiples valores. Dado que $ mathrm sinc ( omega) $ es real y solo la raíz de un valor real negativo introduce ambigüedad, a continuación usaré la rama de $ -1 = e ^ i pi + i2 pi n $ por $ n = 0 $, de modo que $ (- 1) ^ frac 1 2 = e ^ i frac pi 2 = i $ sin ambigüedades.
Traté brevemente de averiguar la Transformada Inversa de Fourier de $ ( mathrm sinc ( omega)) ^ frac 1 2 $ analíticamente. Sin embargo, sin siquiera tener una idea de cuál es la solución deberían Parece que ese camino era demasiado difícil para obtener resultados útiles.
Por lo tanto, utilicé una transformada de Fourier discreta inversa (en ventana) para tener una idea de cómo debería verse la solución numéricamente, incluso si la solución analítica no era posible.
El siguiente es mi script Octave (un clon de MatLab de código abierto) que utilicé:
N = 32768*8;
Ts = 0.0001; % sampling period
Fs = 1.0/Ts; % sample rate
f = [-(N/2):(N/2-1)]*Fs/N; % frequency axis
w = 2*pi*f; % radian frequency axis
t = [(-N/2):(N/2-1)]*Ts; % time axis
pkg load signal; % An Octave-ism. Not sure if needed by actual MatLab
W = blackmanharris(N, "periodic").';
%W = rectwin(N).';
% FIXME: compute window gain (aka window attenuation)
s = sin(w)./(w); % sinc(w) = sin(w)/w
s(N/2+1) = 1.0; % remove the singularity
% Window before inverse transforming to reduce aliasing effects
s = s .* W;
% FIXME: also scale for window gain (aka window attenuation)
figure(1);
plot (w, real(s), w, imag(s));
xlabel('Radian Frequency, omega (rad/s)');
ylabel('Amplitude');
title('Windowed sinc(omega) (real and imaginary parts)');
% Circularly shift the frequency domain samples, so when we take the DFT, we
% have a sinc() properly centered at 0 radians/sec.
% Take the (rectangularly windowed) IDFT and then circularly shift the time
% samples for nicer display on plots.
S = fftshift(ifft(ifftshift(s),N));
Smag = abs(S);
SmagdB = 10*log10(Smag);
Sphase = arg(S);
if 0
figure(2);
plot(t, Smag);
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Magnitude');
title('Linear Magnitude of IDFT of Windowed sinc(omega)');
figure(3);
plot(t, SmagdB);
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Magnitude (dB)');
title('Logarithmic Magnitude of IDFT of Windowed sinc(omega)');
figure(4);
plot(t, Sphase);
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Phase (radians)');
title('Phase of IDFT of Windowed sinc(omega)');
endif
figure(5);
plot(t, real(S), t, imag(S));
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Amplitude');
title('IDFT of Windowed sinc(omega) (real and imaginary parts)');
s2 = sqrt(s); % sqrt(sinc(w))
% Window before inverse transforming to reduce aliasing effects
s2 = s2 .* W;
% FIXME: also scale for window gain (aka window attenuation)
figure(6);
plot(w, real(s2), w, imag(s2));
xlabel('Radian Frequency, omega (rad/s)');
ylabel('Amplitude');
title('Windowed (sinc(omega))^(1/2) (real and imaginary parts)');
% Circularly shift the frequency domain samples, so when we take the DFT, we
% have a sinc() properly centered at 0 radians/sec.
% Take the (rectangularly windowed) IDFT and then circularly shift the time
% samples for nicer display on plots.
S2 = fftshift(ifft(ifftshift(s2),N));
S2mag = abs(S2);
S2magdB = 10*log10(S2mag);
S2phase = arg(S2);
if 0
figure(7);
plot(t, S2mag);
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Magnitude');
title('Linear Magnitude of IDFT of Windowed (sinc(omega))^(1/2)');
figure(8);
plot(t, S2magdB);
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Magnitude (dB)');
title('Logarithmic Magnitude of IDFT of Windowed (sinc(omega))^(1/2)');
figure(9);
plot(t, S2phase);
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Phase (radians)');
title('Phase of IDFT of Windowed (sinc(omega))^(1/2)');
endif
figure(10);
plot(t, real(S2), t, imag(S2));
xlabel('Time, t (seconds)');
ylabel('Amplitude');
title('IDFT of Windowed (sinc(omega))^(1/2) (real and imaginary parts)');
Usé ventanas para reducir el efecto del aliasing en la IDFT, para tener una mejor idea de cómo debería verse la respuesta analítica. Sin embargo, hay algunos artefactos debido al truncamiento de la función infinitamente larga que aún permanecen.
Esta figura muestra un gráfico de las partes real e imaginaria de la función $ ( mathrm sinc ( omega)) ^ frac 1 2 $ truncada y en ventana:
Esta es la misma figura ampliada en el centro:
que muestra una alternancia de las partes real e imaginaria debido a las excursiones positivas y negativas de $ mathrm sinc ( omega) $ (antes de que se tomara la raíz cuadrada).
Las siguientes cifras representan las partes real e imaginaria de la IDFT de la función $ ( mathrm sinc ( omega)) ^ frac 1 2 $ truncada y en ventana, con varias regiones ampliadas :
A partir de estos gráficos, es bastante razonable conjeturar que la transformada inversa de Fourier de $ ( mathrm sinc ( omega)) ^ frac 1 2 $ es una suma infinita de $ impulsos delta (t) $ y $ delta ‘(t) $. Algo como
$$ begin align * f (t) & = (a_0 + ib_0) delta (t) \ & + sum_ n = – infty ^ – 1 (-a_ 2n + 1 + i b_ 2n + 1) delta ‘(t – [2n+1]) + (-a_ 2n -ib_ 2n) delta (t -2n) \ & + sum_ n = 1 ^ infty (a_ 2n-1 -i b_ 2n- 1) delta ‘(t – [2n-1]) + (-a_ 2n -ib_ 2n) delta (t -2n) \ \ & = (a_0 + ib_0) delta (t) \ & + sum_ n = 1 ^ infty – left (a_ 2n + ib_ 2n right) left[delta(t+2n)+delta(t-2n)right] \ & + sum_ n = 1 ^ infty – left (a_ 2n-1 – ib_ 2n-1 right) left[delta’left(t+left[2n-1right] right) – delta ‘ left (t- left[2n-1right] right) right]\ end align * $$
con $ | a_m | = | a _ – m | $ y $ | b_m | = | b _ – m | $ y probablemente $ | a_m | = | b_m | $.
No me molesté en intentar hacer un ajuste de curva para averiguar la envolvente y los valores nominales de $ a_m $ y $ b_m $, especialmente porque mi sistema de ventanas escala los valores. Sospecho que siguen una envolvente que es una potencia de una función $ mathrm sinc () $, pero eso es pura especulación.
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