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Solución:
Así que las otras respuestas son correctas solo para $x≠0$. Sin embargo, en el sentido de las distribuciones, de hecho aparece un delta de Dirac en el resultado.
Los primeros pasos en su enfoque son correctos. ambas funciones $frac1q^2$ y $frac(q·a),(qcdot b)q^2$ son de hecho funciones integrables localmente y están acotadas fuera de un conjunto compacto, también lo son las distribuciones temperadas: uno puede tomar su transformada de Fourier en el sentido de distribuciones (obsérvese, sin embargo, que estas funciones no están en $L^1$ o en $L^2$por lo que no se puede tomar la transformada de Fourier en el sentido habitual).
En el sentido de distribuciones (escribir con abuso de notación la transformada de Fourier como una integral)
$$ frac1(2pi)^3int_mathbb R^3 frac(q·a),(qcdot b)q^2 ,e ^i,qcdot x ,mathrm dq = -(acdotnabla)(bcdotnabla), frac1. $$
Tomando una primera derivada de $1/|x|$Se obtiene $-x/|x|^3$ (incluso en el sentido de distribuciones) que sigue siendo una función localmente integrable. Sin embargo, tomar dos derivadas conduce a una función no integrable localmente, por lo que uno debe tener cuidado como sospecha. Una fórmula que generaliza la fórmula del Laplaciano $-Delta frac14pi = delta_0$ es la fórmula de la arpillera (donde $nabla^2 = nablanabla$)
$$ nabla^2left(frac1right) = frac14π ,mathrmpv.,frac^2 ,mathrmId – frac13, delta_0 ,mathrmId $$
donde p.v. denota el valor principal, consulte egp55 aquí. (En particular, si sumas las coordenadas $(j,j)$ de esta matriz se obtiene la fórmula del Laplaciano). Ahora comenta que $(acdotnabla)(bcdotnabla) = (aotimes b):nabla^2$ (si prefiere coordenadas, $sum_ij a_iparcial_i, b_jparcial_j = sum_ij a_ib_j,parcial_iparcial_j$) y entonces
$$ beginalign frac1(2pi)^3int_mathbb R^3 frac(q·a),(qcdot b)q^ 2 ,e^i,qcdot x ,mathrm dq &= -(aotimes b):nabla^2left(frac14pi Correcto). \ &= frac14π ,mathrmpv.,frac^5 + fracacdot b3, delta_0 endalign $$
El físico generalmente no escribe el valor principal, por lo que en notaciones más cortas (con $r=|x|$)
$$ boxedfrac1(2pi)^3int_mathbb R^3 frac(q·a),(qcdot b)q^2 ,e^i,qcdot x ,mathrm dq = frac14πr^3 left(a·b – 3,(acdot tfracxr )(bcdot tfracxr)right) + fracacdot b3, delta_0 $$
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